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Theorem brdom3 8406
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7115 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4918 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
3 0sdomg 7236 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5 df-ne 2601 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
64, 5syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  -.  A  =  (/) ) )
76biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (/) 
~<  A )
8 fodomr 7258 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  B )  ->  E. f 
f : B -onto-> A
)
98ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  (/)  ~<  A )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
107, 9syldan 457 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
11 pm5.6 879 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )  <->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A ) ) )
1210, 11mpbi 200 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f 
f : B -onto-> A
) )
13 noel 3632 . . . . . . . . 9  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
14 df-br 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
1513, 14mtbir 291 . . . . . . . 8  |-  -.  x (/) y
1615nex 1564 . . . . . . 7  |-  -.  E. y  x (/) y
17 exmo 2326 . . . . . . 7  |-  ( E. y  x (/) y  \/ 
E* y  x (/) y )
1816, 17mtp-or 1547 . . . . . 6  |-  E* y  x (/) y
1918ax-gen 1555 . . . . 5  |-  A. x E* y  x (/) y
20 rzal 3729 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )
21 0ex 4339 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 breq 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( x f y  <->  x (/) y ) )
2322mobidv 2316 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E* y  x f y  <->  E* y  x (/) y ) )
2423albidv 1635 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x E* y  x f y  <->  A. x E* y  x (/) y ) )
25 breq 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( y f x  <->  y (/) x ) )
2625rexbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  y f x  <->  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2726ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2824, 27anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  <->  ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) ) )
2921, 28spcev 3043 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3019, 20, 29sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
31 fofun 5654 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  ->  Fun  f )
32 dffun6 5469 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  <->  ( Rel  f  /\  A. x E* y  x f y ) )
3332simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( Fun  f  ->  A. x E* y  x f
y )
3431, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x E* y  x f y )
35 dffo4 5885 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
3635simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )
3734, 36jca 519 . . . . 5  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3837eximi 1585 . . . 4  |-  ( E. f  f : B -onto-> A  ->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3930, 38jaoi 369 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
4012, 39syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
41 inss1 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
4241ssbri 4254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
4342moimi 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4443alimi 1568 . . . . . . . 8  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
45 relxp 4983 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
46 relin2 4993 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
48 dffun6 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
4947, 48mpbiran 885 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <->  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
5044, 49sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
51 funfn 5482 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
53 rninxp 5310 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
5453biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
5552, 54anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
56 df-fo 5460 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
5755, 56sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
58 vex 2959 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
5958inex1 4344 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6059dmex 5132 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6160fodom 8402 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
62 brdom3.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
63 inss2 3562 . . . . . . . 8  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
64 dmss 5069 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
66 dmxpss 5300 . . . . . . 7  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
6765, 66sstri 3357 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
68 ssdomg 7153 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
70 domtr 7160 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
7169, 70mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
7257, 61, 713syl 19 . . 3  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
7372exlimiv 1644 . 2  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
7440, 73impbii 181 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2282    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108
This theorem is referenced by:  brdom5  8407  brdom4  8408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-card 7826  df-acn 7829  df-ac 7997
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