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Theorem brdom4 8155
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom4  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8153 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 mormo 2752 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  e.  A x f y )
43alimi 1546 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  e.  A x f y )
5 alral 2601 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  A x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
76anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
87eximi 1563 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
92, 8sylbi 187 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
10 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
11 dmss 4878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
13 dmxpss 5107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
1412, 13sstri 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1514sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
16 rnss 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ran  ( B  X.  A ) )
1710, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ran  ( B  X.  A
)
18 rnxpss 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( B  X.  A )  C_  A
1917, 18sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  A
2019sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
21 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
2221ssbri 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
2320, 22anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y )  ->  ( y  e.  A  /\  x f y ) )
2423moimi 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y ( y  e.  A  /\  x f y )  ->  E* y ( y  e. 
ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  x
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
25 df-rmo 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  A x f y  <->  E* y
( y  e.  A  /\  x f y ) )
26 df-rmo 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  <->  E* y ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y ) )
2724, 25, 263imtr4i 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E* y  e.  A x f y  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
2815, 27imim12i 53 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  e.  A x f y )  ->  ( x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2928ralimi2 2615 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
30 relxp 4794 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( B  X.  A )
31 relin2 4804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
3329, 32jctil 523 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  ( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  A. x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
34 dffun9 5282 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
36 funfn 5283 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3735, 36sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
38 rninxp 5117 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
3938biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
4037, 39anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
41 df-fo 5261 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
4240, 41sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
43 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
4443inex1 4155 . . . . . . 7  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4544dmex 4941 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4645fodom 8149 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4742, 46syl 15 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
48 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
491, 14, 48mp2 17 . . . 4  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
50 domtr 6914 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
5147, 49, 50sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
5251exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )  ->  A  ~<_  B )
539, 52impbii 180 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543   E.wrex 2544   E*wrmo 2546   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  brdom7disj  8156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
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