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Theorem brdom4 8242
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom4  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8240 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 mormo 2828 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  e.  A x f y )
43alimi 1559 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  e.  A x f y )
5 alral 2677 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  A x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
76anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
87eximi 1576 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
92, 8sylbi 187 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
10 inss2 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
11 dmss 4957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
13 dmxpss 5186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
1412, 13sstri 3264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1514sseli 3252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
16 rnss 4986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ran  ( B  X.  A ) )
1710, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ran  ( B  X.  A
)
18 rnxpss 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( B  X.  A )  C_  A
1917, 18sstri 3264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  A
2019sseli 3252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
21 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
2221ssbri 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
2320, 22anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y )  ->  ( y  e.  A  /\  x f y ) )
2423moimi 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y ( y  e.  A  /\  x f y )  ->  E* y ( y  e. 
ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  x
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
25 df-rmo 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  A x f y  <->  E* y
( y  e.  A  /\  x f y ) )
26 df-rmo 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  <->  E* y ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y ) )
2724, 25, 263imtr4i 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E* y  e.  A x f y  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
2815, 27imim12i 53 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  e.  A x f y )  ->  ( x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2928ralimi2 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
30 relxp 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( B  X.  A )
31 relin2 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
3329, 32jctil 523 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  ( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  A. x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
34 dffun9 5361 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
36 funfn 5362 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3735, 36sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
38 rninxp 5196 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
3938biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
4037, 39anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
41 df-fo 5340 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
4240, 41sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
43 vex 2867 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
4443inex1 4234 . . . . . . 7  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4544dmex 5020 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4645fodom 8236 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4742, 46syl 15 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
48 ssdomg 6992 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
491, 14, 48mp2 17 . . . 4  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
50 domtr 6999 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
5147, 49, 50sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
5251exlimiv 1634 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )  ->  A  ~<_  B )
539, 52impbii 180 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   E*wmo 2210   A.wral 2619   E.wrex 2620   E*wrmo 2622   _Vcvv 2864    i^i cin 3227    C_ wss 3228   class class class wbr 4102    X. cxp 4766   dom cdm 4768   ran crn 4769   Rel wrel 4773   Fun wfun 5328    Fn wfn 5329   -onto->wfo 5332    ~<_ cdom 6946
This theorem is referenced by:  brdom7disj  8243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-ac2 8176
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-suc 4477  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-card 7659  df-acn 7662  df-ac 7830
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