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Theorem brdom4 8368
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom4  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8366 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 mormo 2884 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  e.  A x f y )
43alimi 1565 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  e.  A x f y )
5 alral 2728 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  A x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
76anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
87eximi 1582 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
92, 8sylbi 188 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
10 inss2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
11 dmss 5032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
13 dmxpss 5263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
1412, 13sstri 3321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1514sseli 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
16 rnss 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ran  ( B  X.  A ) )
1710, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ran  ( B  X.  A
)
18 rnxpss 5264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( B  X.  A )  C_  A
1917, 18sstri 3321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  A
2019sseli 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
21 inss1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
2221ssbri 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
2320, 22anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y )  ->  ( y  e.  A  /\  x f y ) )
2423moimi 2305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y ( y  e.  A  /\  x f y )  ->  E* y ( y  e. 
ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  x
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
25 df-rmo 2678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  A x f y  <->  E* y
( y  e.  A  /\  x f y ) )
26 df-rmo 2678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  <->  E* y ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y ) )
2724, 25, 263imtr4i 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E* y  e.  A x f y  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
2815, 27imim12i 55 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  e.  A x f y )  ->  ( x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2928ralimi2 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
30 relxp 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( B  X.  A )
31 relin2 4956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
3329, 32jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  ( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  A. x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
34 dffun9 5444 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
3533, 34sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
36 funfn 5445 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3735, 36sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
38 rninxp 5273 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
3938biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
4037, 39anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
41 df-fo 5423 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
4240, 41sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
43 vex 2923 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
4443inex1 4308 . . . . . . 7  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4544dmex 5095 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4645fodom 8362 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4742, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
48 ssdomg 7116 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
491, 14, 48mp2 9 . . . 4  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
50 domtr 7123 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
5147, 49, 50sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
5251exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )  ->  A  ~<_  B )
539, 52impbii 181 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2259   A.wral 2670   E.wrex 2671   E*wrmo 2673   _Vcvv 2920    i^i cin 3283    C_ wss 3284   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ran crn 4842   Rel wrel 4846   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -onto->wfo 5415    ~<_ cdom 7070
This theorem is referenced by:  brdom7disj  8369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-ac2 8303
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-suc 4551  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-card 7786  df-acn 7789  df-ac 7957
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