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Theorem brdom5 8412
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom5  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8411 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 alral 2766 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  x f y )
43anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
54eximi 1586 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
62, 5sylbi 189 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
7 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
8 dmss 5072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
10 dmxpss 5303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
119, 10sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1211sseli 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
13 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
1413ssbri 4257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
1514moimi 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
1612, 15imim12i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  x f
y )  ->  (
x  e.  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
1716ralimi2 2780 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
18 relxp 4986 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
19 relin2 4996 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
2117, 20jctil 525 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
22 dffun7 5482 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2321, 22sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
24 funfn 5485 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2523, 24sylib 190 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
26 rninxp 5313 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
2726biimpri 199 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
2825, 27anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
29 df-fo 5463 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
3028, 29sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) -onto-> A )
31 vex 2961 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
3231inex1 4347 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3332dmex 5135 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3433fodom 8407 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
35 ssdomg 7156 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
361, 11, 35mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
37 domtr 7163 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
3836, 37mpan2 654 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
3930, 34, 383syl 19 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
4039exlimiv 1645 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
416, 40impbii 182 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882   Rel wrel 4886   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -onto->wfo 5455    ~<_ cdom 7110
This theorem is referenced by:  brdom6disj  8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-ac2 8348
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-acn 7834  df-ac 8002
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