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Theorem brdom5 8371
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom5  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8370 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 alral 2732 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  x f y )
43anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
54eximi 1582 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
62, 5sylbi 188 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
7 inss2 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
8 dmss 5036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
10 dmxpss 5267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
119, 10sstri 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1211sseli 3312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
13 inss1 3529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
1413ssbri 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
1514moimi 2309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
1612, 15imim12i 55 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  x f
y )  ->  (
x  e.  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
1716ralimi2 2746 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
18 relxp 4950 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
19 relin2 4960 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
2117, 20jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
22 dffun7 5446 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2321, 22sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
24 funfn 5449 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2523, 24sylib 189 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
26 rninxp 5277 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
2726biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
2825, 27anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
29 df-fo 5427 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
3028, 29sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) -onto-> A )
31 vex 2927 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
3231inex1 4312 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3332dmex 5099 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3433fodom 8366 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
35 ssdomg 7120 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
361, 11, 35mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
37 domtr 7127 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
3836, 37mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
3930, 34, 383syl 19 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
4039exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
416, 40impbii 181 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2263   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   Rel wrel 4850   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -onto->wfo 5419    ~<_ cdom 7074
This theorem is referenced by:  brdom6disj  8374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-ac2 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-card 7790  df-acn 7793  df-ac 7961
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