Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom5 Structured version   Unicode version

Theorem brdom5 8412
 Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2
Assertion
Ref Expression
brdom5
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4
21brdom3 8411 . . 3
3 alral 2766 . . . . 5
43anim1i 553 . . . 4
54eximi 1586 . . 3
62, 5sylbi 189 . 2
7 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14
8 dmss 5072 . . . . . . . . . . . . . 14
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
10 dmxpss 5303 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12
1211sseli 3346 . . . . . . . . . . 11
13 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . 13
1413ssbri 4257 . . . . . . . . . . . 12
1514moimi 2330 . . . . . . . . . . 11
1612, 15imim12i 56 . . . . . . . . . 10
1716ralimi2 2780 . . . . . . . . 9
18 relxp 4986 . . . . . . . . . 10
19 relin2 4996 . . . . . . . . . 10
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2117, 20jctil 525 . . . . . . . 8
22 dffun7 5482 . . . . . . . 8
2321, 22sylibr 205 . . . . . . 7
24 funfn 5485 . . . . . . 7
2523, 24sylib 190 . . . . . 6
26 rninxp 5313 . . . . . . 7
2726biimpri 199 . . . . . 6
2825, 27anim12i 551 . . . . 5
29 df-fo 5463 . . . . 5
3028, 29sylibr 205 . . . 4
31 vex 2961 . . . . . . 7
3231inex1 4347 . . . . . 6
3332dmex 5135 . . . . 5
3433fodom 8407 . . . 4
35 ssdomg 7156 . . . . . 6
361, 11, 35mp2 9 . . . . 5
37 domtr 7163 . . . . 5
3836, 37mpan2 654 . . . 4
3930, 34, 383syl 19 . . 3
4039exlimiv 1645 . 2
416, 40impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wmo 2284  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322   class class class wbr 4215   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   wrel 4886   wfun 5451   wfn 5452  wfo 5455   cdom 7110 This theorem is referenced by:  brdom6disj  8415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-ac2 8348 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-acn 7834  df-ac 8002
 Copyright terms: Public domain W3C validator