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Theorem brdom6disj 8415
Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
brdom7disj.1  |-  A  e. 
_V
brdom7disj.2  |-  B  e. 
_V
brdom7disj.3  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
brdom6disj  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom6disj
Dummy variables  g 
v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom7disj.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
21brdom5 8412 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
3 zfpair2 4407 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
4 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
54anbi1d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
6 df-br 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g
)
76anbi2i 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  <-> 
( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
85, 7syl6bbr 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z
g w ) ) )
982rexbidv 2750 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z
g w ) ) )
103, 9elab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w ) )
11 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
12 brdom7disj.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
1311, 12eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  A )  =  (/)
14 disjne 3675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
1513, 14mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
16 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
17 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
18 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
19 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
2016, 17, 18, 19opthpr 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  w  ->  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
22 breq12 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( x g y  <-> 
z g w ) )
2322biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( z g w  ->  x g y ) )
2421, 23syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  ->  ( z g w  ->  x g y ) ) )
2524imp3a 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g
y ) )
2625ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g
y ) ) )
2726adantrd 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( w  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g y ) ) )
2827rexlimdvv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g y ) )
2910, 28syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y ) )
3029alrimiv 1642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  A. y
( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y ) )
31 moim 2329 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y )  ->  ( E* y  x g y  ->  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( E* y  x g
y  ->  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
3332ralimia 2781 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x g y  ->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
34 zfpair2 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y ,  x }  e.  _V
35 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { y ,  x }  =  {
z ,  w }
) )
3635anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
37362rexbidv 2750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
3834, 37elab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
39 disjne 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4013, 39mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4140ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  z  =/=  x )
4218, 19, 17, 16opthpr 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =/=  x  ->  ( { z ,  w }  =  { y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { z ,  w }  =  {
y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
) )
44 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y ,  x }  =  { z ,  w } 
<->  { z ,  w }  =  { y ,  x } )
45 ancom 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
)
4643, 44, 453bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  =  {
z ,  w }  <->  ( w  =  x  /\  z  =  y )
) )
476bicomi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  g  <->  z g w )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  g  <->  z g
w ) )
4946, 48anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( (
w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w ) ) )
5049rexbidva 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5150rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5238, 51syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5352adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
54 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
z g w  <->  z g
x ) )
55 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z g x  <->  y g
x ) )
5654, 55ceqsrex2v 3073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w )  <-> 
y g x ) )
5753, 56bitrd 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
y g x ) )
5857rexbidva 2724 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. y  e.  B  y g x ) )
5958ralbiia 2739 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )
6059biimpri 199 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
61 brdom7disj.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
62 snex 4408 . . . . . . . 8  |-  { {
z ,  w } }  e.  _V
63 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  ->  v  =  { z ,  w } )
6463ss2abi 3417 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { v  |  v  =  { z ,  w } }
65 df-sn 3822 . . . . . . . . 9  |-  { {
z ,  w } }  =  { v  |  v  =  {
z ,  w } }
6664, 65sseqtr4i 3383 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { { z ,  w } }
6762, 66ssexi 4351 . . . . . . 7  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
6861, 1, 67ab2rexex2 6230 . . . . . 6  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
69 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { x ,  y }  e.  f 
<->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7069mobidv 2318 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E* y { x ,  y }  e.  f  <->  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7170ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  <->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
72 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { y ,  x }  e.  f 
<->  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7372rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7473ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7571, 74anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  <->  ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) ) )
7668, 75spcev 3045 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
7733, 60, 76syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x g
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
7877exlimiv 1645 . . 3  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  ->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
79 preq1 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  { w ,  z }  =  { x ,  z } )
8079eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { x ,  z }  e.  f ) )
81 preq2 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  { x ,  z }  =  { x ,  y } )
8281eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( { x ,  z }  e.  f  <->  { x ,  y }  e.  f ) )
83 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f }
8416, 17, 80, 82, 83brab 4480 . . . . . . 7  |-  ( x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  { x ,  y }  e.  f )
8584mobii 2319 . . . . . 6  |-  ( E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  <->  E* y { x ,  y }  e.  f )
8685ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  <->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f )
87 preq1 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  { w ,  z }  =  { y ,  z } )
8887eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { y ,  z }  e.  f ) )
89 preq2 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  { y ,  z }  =  { y ,  x } )
9089eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( { y ,  z }  e.  f  <->  { y ,  x }  e.  f ) )
9117, 16, 88, 90, 83brab 4480 . . . . . . 7  |-  ( y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  { y ,  x }  e.  f )
9291rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
9392ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
94 df-opab 4270 . . . . . . 7  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { v  |  E. w E. z ( v  =  <. w ,  z
>.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }
95 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
9695uniex 4708 . . . . . . . 8  |-  U. f  e.  _V
9719prid1 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
{ w ,  z }
98 elunii 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
9997, 98mpan 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  w  e.  U. f )
10099adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
101100exlimiv 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f )
10218prid2 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ w ,  z }
103 elunii 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
104102, 103mpan 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  z  e.  U. f )
105104adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
106 df-sn 3822 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  =  { v  |  v  =  <. w ,  z
>. }
107 snex 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  e.  _V
108106, 107eqeltrri 2509 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }  e.  _V
109 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
v  =  <. w ,  z >. )
110109ss2abi 3417 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  C_  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }
111108, 110ssexi 4351 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11296, 105, 111abexex 6006 . . . . . . . 8  |-  { v  |  E. z ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11396, 101, 112abexex 6006 . . . . . . 7  |-  { v  |  E. w E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11494, 113eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  e.  _V
115 breq 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( x g y  <->  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
116115mobidv 2318 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E* y  x g y  <->  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
117116ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  x g
y  <->  A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
118 breq 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( y g x  <->  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
119118rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E. y  e.  B  y g x  <->  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
120119ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
121117, 120anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } x
) ) )
122114, 121spcev 3045 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
12386, 93, 122syl2anbr 468 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
124123exlimiv 1645 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
12578, 124impbii 182 . 2  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  <->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
1262, 125bitri 242 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   {copab 4268    ~<_ cdom 7110
This theorem is referenced by:  grothprim  8714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-ac2 8348
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-acn 7834  df-ac 8002
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