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Theorem brdom6disj 8374
Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
brdom7disj.1  |-  A  e. 
_V
brdom7disj.2  |-  B  e. 
_V
brdom7disj.3  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
brdom6disj  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom6disj
Dummy variables  g 
v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom7disj.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
21brdom5 8371 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
3 zfpair2 4372 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
4 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
54anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
6 df-br 4181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g
)
76anbi2i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  <-> 
( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
85, 7syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z
g w ) ) )
982rexbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z
g w ) ) )
103, 9elab 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w ) )
11 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
12 brdom7disj.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
1311, 12eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  A )  =  (/)
14 disjne 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
1513, 14mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
16 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
17 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
18 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
19 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
2016, 17, 18, 19opthpr 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  w  ->  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
22 breq12 4185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( x g y  <-> 
z g w ) )
2322biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( z g w  ->  x g y ) )
2421, 23syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  ->  ( z g w  ->  x g y ) ) )
2524imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g
y ) )
2625ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g
y ) ) )
2726adantrd 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( w  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g y ) ) )
2827rexlimdvv 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  z g w )  ->  x g y ) )
2910, 28syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y ) )
3029alrimiv 1638 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  A. y
( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y ) )
31 moim 2308 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  x g y )  ->  ( E* y  x g y  ->  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( E* y  x g
y  ->  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
3332ralimia 2747 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x g y  ->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
34 zfpair2 4372 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y ,  x }  e.  _V
35 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { y ,  x }  =  {
z ,  w }
) )
3635anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
37362rexbidv 2717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
3834, 37elab 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
39 disjne 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4013, 39mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4140ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  z  =/=  x )
4218, 19, 17, 16opthpr 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =/=  x  ->  ( { z ,  w }  =  { y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { z ,  w }  =  {
y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
) )
44 eqcom 2414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y ,  x }  =  { z ,  w } 
<->  { z ,  w }  =  { y ,  x } )
45 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
)
4643, 44, 453bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  =  {
z ,  w }  <->  ( w  =  x  /\  z  =  y )
) )
476bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  g  <->  z g w )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  g  <->  z g
w ) )
4946, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( (
w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w ) ) )
5049rexbidva 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5150rexbidv 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5238, 51syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5352adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
54 breq2 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
z g w  <->  z g
x ) )
55 breq1 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z g x  <->  y g
x ) )
5654, 55ceqsrex2v 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w )  <-> 
y g x ) )
5753, 56bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
y g x ) )
5857rexbidva 2691 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. y  e.  B  y g x ) )
5958ralbiia 2706 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )
6059biimpri 198 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
61 brdom7disj.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
62 snex 4373 . . . . . . . 8  |-  { {
z ,  w } }  e.  _V
63 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  ->  v  =  { z ,  w } )
6463ss2abi 3383 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { v  |  v  =  { z ,  w } }
65 df-sn 3788 . . . . . . . . 9  |-  { {
z ,  w } }  =  { v  |  v  =  {
z ,  w } }
6664, 65sseqtr4i 3349 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { { z ,  w } }
6762, 66ssexi 4316 . . . . . . 7  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
6861, 1, 67ab2rexex2 6194 . . . . . 6  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
69 eleq2 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { x ,  y }  e.  f 
<->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7069mobidv 2297 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E* y { x ,  y }  e.  f  <->  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7170ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  <->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
72 eleq2 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { y ,  x }  e.  f 
<->  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7372rexbidv 2695 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7473ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7571, 74anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  <->  ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) ) )
7668, 75spcev 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
7733, 60, 76syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x g
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
7877exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  ->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
79 preq1 3851 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  { w ,  z }  =  { x ,  z } )
8079eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { x ,  z }  e.  f ) )
81 preq2 3852 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  { x ,  z }  =  { x ,  y } )
8281eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( { x ,  z }  e.  f  <->  { x ,  y }  e.  f ) )
83 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f }
8416, 17, 80, 82, 83brab 4445 . . . . . . 7  |-  ( x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  { x ,  y }  e.  f )
8584mobii 2298 . . . . . 6  |-  ( E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  <->  E* y { x ,  y }  e.  f )
8685ralbii 2698 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  <->  A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f )
87 preq1 3851 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  { w ,  z }  =  { y ,  z } )
8887eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { y ,  z }  e.  f ) )
89 preq2 3852 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  { y ,  z }  =  { y ,  x } )
9089eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( { y ,  z }  e.  f  <->  { y ,  x }  e.  f ) )
9117, 16, 88, 90, 83brab 4445 . . . . . . 7  |-  ( y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  { y ,  x }  e.  f )
9291rexbii 2699 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
9392ralbii 2698 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
94 df-opab 4235 . . . . . . 7  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { v  |  E. w E. z ( v  =  <. w ,  z
>.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }
95 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
9695uniex 4672 . . . . . . . 8  |-  U. f  e.  _V
9719prid1 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
{ w ,  z }
98 elunii 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
9997, 98mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  w  e.  U. f )
10099adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
101100exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f )
10218prid2 3881 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ w ,  z }
103 elunii 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
104102, 103mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  z  e.  U. f )
105104adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
106 df-sn 3788 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  =  { v  |  v  =  <. w ,  z
>. }
107 snex 4373 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  e.  _V
108106, 107eqeltrri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }  e.  _V
109 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
v  =  <. w ,  z >. )
110109ss2abi 3383 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  C_  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }
111108, 110ssexi 4316 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11296, 105, 111abexex 5970 . . . . . . . 8  |-  { v  |  E. z ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11396, 101, 112abexex 5970 . . . . . . 7  |-  { v  |  E. w E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11494, 113eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  e.  _V
115 breq 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( x g y  <->  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
116115mobidv 2297 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E* y  x g y  <->  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
117116ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  x g
y  <->  A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
118 breq 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( y g x  <->  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
119118rexbidv 2695 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E. y  e.  B  y g x  <->  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
120119ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
121117, 120anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } x
) ) )
122114, 121spcev 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
12386, 93, 122syl2anbr 467 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
124123exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
12578, 124impbii 181 . 2  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  <->  E. f
( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
1262, 125bitri 241 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2263   {cab 2398    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    i^i cin 3287   (/)c0 3596   {csn 3782   {cpr 3783   <.cop 3785   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   {copab 4233    ~<_ cdom 7074
This theorem is referenced by:  grothprim  8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-ac2 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-card 7790  df-acn 7793  df-ac 7961
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