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Theorem brdom7disj 8156
Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
brdom7disj.1  |-  A  e. 
_V
brdom7disj.2  |-  B  e. 
_V
brdom7disj.3  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
brdom7disj  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom7disj
Dummy variables  g 
v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom7disj.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
21brdom4 8155 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
3 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
4 brdom7disj.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
53, 4eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  A )  =  (/)
6 disjne 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
75, 6mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
8 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
9 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
10 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
11 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
128, 9, 10, 11opthpr 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  w  ->  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
137, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
14 equcom 1647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
15 equcom 1647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
1614, 15anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
1713, 16syl6rbb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
18 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g
)
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g ) )
2017, 19anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z g w )  <-> 
( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2120rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w )  <->  E. w  e.  A  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2221rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
23 rexcom 2701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
24 zfpair2 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  e.  _V
25 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
2625anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
27262rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2824, 27elab 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) )
2923, 28bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  <->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
3022, 29syl6rbb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w ) ) )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w ) ) )
32 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z g w  <->  x g
w ) )
33 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x g w  <->  x g
y ) )
3432, 33ceqsrex2v 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z g w )  <-> 
x g y ) )
3531, 34bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
x g y ) )
3635rmobidva 2728 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E* y  e.  A x g y ) )
3736ralbiia 2575 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y )
38 zfpair2 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  { y ,  x }  e.  _V
39 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { y ,  x }  =  {
z ,  w }
) )
4039anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
41402rexbidv 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
4238, 41elab 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
43 disjne 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
445, 43mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4544ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  z  =/=  x )
4610, 11, 9, 8opthpr 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =/=  x  ->  ( { z ,  w }  =  { y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x ) ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { z ,  w }  =  {
y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
) )
48 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y ,  x }  =  { z ,  w } 
<->  { z ,  w }  =  { y ,  x } )
49 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
)
5047, 48, 493bitr4g 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  =  {
z ,  w }  <->  ( w  =  x  /\  z  =  y )
) )
5118bicomi 193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  g  <->  z g w )
5251a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  g  <->  z g
w ) )
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( (
w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w ) ) )
5453rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5554rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5642, 55syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
58 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
z g w  <->  z g
x ) )
59 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z g x  <->  y g
x ) )
6058, 59ceqsrex2v 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w )  <-> 
y g x ) )
6157, 60bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
y g x ) )
6261rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. y  e.  B  y g x ) )
6362ralbiia 2575 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )
64 brdom7disj.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
65 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { {
z ,  w } }  e.  _V
66 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  ->  v  =  { z ,  w } )
6766ss2abi 3245 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { v  |  v  =  { z ,  w } }
68 df-sn 3646 . . . . . . . . 9  |-  { {
z ,  w } }  =  { v  |  v  =  {
z ,  w } }
6967, 68sseqtr4i 3211 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { { z ,  w } }
7065, 69ssexi 4159 . . . . . . 7  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
7164, 1, 70ab2rexex2 6001 . . . . . 6  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
72 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { x ,  y }  e.  f 
<->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7372rmobidv 2729 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  <->  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7473ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
75 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { y ,  x }  e.  f 
<->  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7675rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7776ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7874, 77anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) ) )
7971, 78spcev 2875 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
8037, 63, 79syl2anbr 466 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  ->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
8180exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
82 preq1 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  { w ,  z }  =  { x ,  z } )
8382eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { x ,  z }  e.  f ) )
84 preq2 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  { x ,  z }  =  { x ,  y } )
8584eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( { x ,  z }  e.  f  <->  { x ,  y }  e.  f ) )
86 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f }
878, 9, 83, 85, 86brab 4287 . . . . . . 7  |-  ( x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  { x ,  y }  e.  f )
8887rmobii 2731 . . . . . 6  |-  ( E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f )
8988ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f )
90 preq1 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  { w ,  z }  =  { y ,  z } )
9190eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { y ,  z }  e.  f ) )
92 preq2 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  { y ,  z }  =  { y ,  x } )
9392eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( { y ,  z }  e.  f  <->  { y ,  x }  e.  f ) )
949, 8, 91, 93, 86brab 4287 . . . . . . 7  |-  ( y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  { y ,  x }  e.  f )
9594rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
9695ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
97 df-opab 4078 . . . . . . 7  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { v  |  E. w E. z ( v  =  <. w ,  z
>.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }
98 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
9998uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. f  e.  _V
10011prid1 3734 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
{ w ,  z }
101 elunii 3832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
102100, 101mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  w  e.  U. f )
103102adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
104103exlimiv 1666 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f )
10510prid2 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ w ,  z }
106 elunii 3832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
107105, 106mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  z  e.  U. f )
108107adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
109 df-sn 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  =  { v  |  v  =  <. w ,  z
>. }
110 snex 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  e.  _V
111109, 110eqeltrri 2354 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }  e.  _V
112 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
v  =  <. w ,  z >. )
113112ss2abi 3245 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  C_  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }
114111, 113ssexi 4159 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11599, 108, 114abexex 5782 . . . . . . . 8  |-  { v  |  E. z ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11699, 104, 115abexex 5782 . . . . . . 7  |-  { v  |  E. w E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11797, 116eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  e.  _V
118 breq 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( x g y  <->  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
119118rmobidv 2729 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E* y  e.  A x g y  <->  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y ) )
120119ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y ) )
121 breq 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( y g x  <->  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
122121rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E. y  e.  B  y g x  <->  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
123122ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
124120, 123anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } x
) ) )
125117, 124spcev 2875 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x )  ->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
12689, 96, 125syl2anbr 466 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
127126exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
12881, 127impbii 180 . 2  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
1292, 128bitri 240 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E*wrmo 2546   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    ~<_ cdom 6861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
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