Theorem brdomg 4376

Description: Dominance relation.

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 3661	. . . . 5 |- (x = A -> (f:x-1-1->y <-> f:A-1-1->y))
2	1	exbidv 1279	. . . 4 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1->y <-> E.f f:A-1-1->y))
3		f1eq3 3662	. . . . 5 |- (y = B -> (f:A-1-1->y <-> f:A-1-1->B))
4	3	exbidv 1279	. . . 4 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1->y <-> E.f f:A-1-1->B))
5		df-dom 4369	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
6	2, 4, 5	brabg 2818	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
7	6	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)))
8		reldom 4373	. . . . 5 |- Rel ~<_
9	8	brrelexi 3208	. . . 4 |- (A ~<_ B -> A e. V)
10		f1f 3665	. . . . . 6 |- (f:A-1-1->B -> f:A-->B)
11		fdm 3631	. . . . . . 7 |- (f:A-->B -> dom f = A)
12		visset 1813	. . . . . . . 8 |- f e. V
13	12	dmex 3360	. . . . . . 7 |- dom f e. V
14	11, 13	syl6eqelr 1557	. . . . . 6 |- (f:A-->B -> A e. V)
15	10, 14	syl 10	. . . . 5 |- (f:A-1-1->B -> A e. V)
16	15	19.23aiv 1295	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1->B -> A e. V)
17	9, 16	pm5.21ni 678	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
18	17	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)))
19	7, 18	pm2.61i 126	1 |- (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  brdom 4378  f1domg 4396  fodomr 4483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain