MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6872
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5433 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
21exbidv 1612 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
3 f1eq3 5434 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
43exbidv 1612 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
5 df-dom 6865 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
62, 4, 5brabg 4284 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
76ex 423 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
8 reldom 6869 . . . . 5  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4729 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
10 f1f 5437 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
11 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
12 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 4941 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
1411, 13syl6eqelr 2372 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
1510, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1615exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
179, 16pm5.21ni 341 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817a1d 22 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
197, 18pm2.61i 156 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  brdomi  6873  brdom  6874  f1dom2g  6879  f1domg  6881  dom3d  6903  domdifsn  6945  fidomtri  7626  hashdom  11361  erdsze2lem1  23734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator