MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Unicode version

Theorem brdomg 7110
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5627 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
21exbidv 1636 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
3 f1eq3 5628 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
43exbidv 1636 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
5 df-dom 7103 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
62, 4, 5brabg 4466 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
76ex 424 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
8 reldom 7107 . . . . 5  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4910 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
10 f1f 5631 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
11 fdm 5587 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
12 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 5124 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
1411, 13syl6eqelr 2524 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
1510, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1615exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
179, 16pm5.21ni 342 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817a1d 23 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
197, 18pm2.61i 158 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443    ~<_ cdom 7099
This theorem is referenced by:  brdomi  7111  brdom  7112  f1dom2g  7117  f1domg  7119  dom3d  7141  domdifsn  7183  fidomtri  7872  hashdom  11645  sizeusglecusg  21487  erdsze2lem1  24881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-dom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator