MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6888
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5449 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
21exbidv 1616 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
3 f1eq3 5450 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
43exbidv 1616 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
5 df-dom 6881 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
62, 4, 5brabg 4300 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
76ex 423 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
8 reldom 6885 . . . . 5  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4745 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
10 f1f 5453 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
11 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
12 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 4957 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
1411, 13syl6eqelr 2385 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
1510, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1615exlimiv 1624 . . . 4  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
179, 16pm5.21ni 341 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817a1d 22 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
197, 18pm2.61i 156 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268    ~<_ cdom 6877
This theorem is referenced by:  brdomi  6889  brdom  6890  f1dom2g  6895  f1domg  6897  dom3d  6919  domdifsn  6961  fidomtri  7642  hashdom  11377  erdsze2lem1  23749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-dom 6881
  Copyright terms: Public domain W3C validator