MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Unicode version

Theorem brdomi 7119
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 7115 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4919 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
3 brdomg 7118 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  ~<_  B 
<->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
54ibi 233 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   E.wex 1550    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212   -1-1->wf1 5451    ~<_ cdom 7107
This theorem is referenced by:  2dom  7179  xpdom2  7203  domunsncan  7208  fodomr  7258  domssex  7268  sucdom2  7303  hartogslem1  7511  infdifsn  7611  acndom  7932  acndom2  7935  fictb  8125  fin23lem41  8232  iundom2g  8415  pwfseq  8539  ctex  24100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-dom 7111
  Copyright terms: Public domain W3C validator