MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Unicode version

Theorem brdomi 6889
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 6885 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4746 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
3 brdomg 6888 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  ~<_  B 
<->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
54ibi 232 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1531    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   -1-1->wf1 5268    ~<_ cdom 6877
This theorem is referenced by:  2dom  6949  xpdom2  6973  domunsncan  6978  fodomr  7028  domssex  7038  sucdom2  7073  hartogslem1  7273  infdifsn  7373  acndom  7694  acndom2  7697  fictb  7887  fin23lem41  7994  iundom2g  8178  pwfseq  8302  ctex  23351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-dom 6881
  Copyright terms: Public domain W3C validator