MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bren Unicode version

Theorem bren 7084
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem bren
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7081 . . 3  |-  Rel  ~~
2 brrelex12 4882 . . 3  |-  ( ( Rel  ~~  /\  A  ~~  B )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
4 f1ofn 5642 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f  Fn  A )
5 fndm 5511 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
6 vex 2927 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
76dmex 5099 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
85, 7syl6eqelr 2501 . . . . 5  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  A  e.  _V )
10 f1ofo 5648 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
11 forn 5623 . . . . . 6  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ran  f  =  B )
136rnex 5100 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1412, 13syl6eqelr 2501 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  B  e.  _V )
159, 14jca 519 . . 3  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
1615exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
17 f1oeq2 5633 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> y ) )
1817exbidv 1633 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> y ) )
19 f1oeq3 5634 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> B ) )
2019exbidv 1633 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> B ) )
21 df-en 7077 . . 3  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
2218, 20, 21brabg 4442 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  ~~  B  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B
) )
233, 16, 22pm5.21nii 343 1  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   ran crn 4846   Rel wrel 4850    Fn wfn 5416   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420    ~~ cen 7073
This theorem is referenced by:  domen  7088  f1oen3g  7090  ener  7121  en0  7137  ensn1  7138  en1  7141  unen  7156  canth2  7227  mapen  7238  ssenen  7248  phplem4  7256  php3  7260  isinf  7289  ssfi  7296  domunfican  7346  fiint  7350  unxpwdom2  7520  isinffi  7843  infxpenc2  7867  fseqen  7872  dfac8b  7876  infpwfien  7907  dfac12r  7990  infmap2  8062  cff1  8102  infpssr  8152  fin4en1  8153  enfin2i  8165  enfin1ai  8228  axcc3  8282  axcclem  8301  numth  8316  ttukey2g  8360  canthnum  8488  canthwe  8490  canthp1  8493  pwfseq  8503  tskuni  8622  gruen  8651  hasheqf1o  11596  hashfacen  11666  fz1f1o  12467  ruc  12805  cnso  12809  eulerth  13135  ablfaclem3  15608  indishmph  17791  ufldom  17955  ovolctb  19347  ovoliunlem3  19361  iunmbl2  19412  dyadmbl  19453  vitali  19466  nbusgrafi  21419  cusgrafilem3  21451  volmeas  24548  derangenlem  24818  mblfinlem  26151  eldioph2lem1  26716  enfixsn  27133  mapfien2  27134  isnumbasgrplem1  27142  lbslcic  27187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-en 7077
  Copyright terms: Public domain W3C validator