Theorem bren 4377

Description: Equinumerosity relation. Compare Definition of [Enderton] p. 129.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
bren	|- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. V
2		breng 4375	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  domen 4379  ener 4410  en0 4423  ensn1 4424  en1 4426  canth2 4484  mapen 4491  ssenen 4504  phplem4 4511  php3 4515  php3OLD 4516  ssfi 4537  ssfiOLD 4538  unfilem3 4550  unifiOLD 4557  fiint 4559  fiintOLD 4560  fodomfiOLD 4566  numth2 4785  ruc 7549  infxpidmlem10 7561  infxpidmlem12 7563  infmap2lem1 7579  eqindhome 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain