MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brres Unicode version

Theorem brres 5115
Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brres  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  ( A C B  /\  A  e.  D ) )

Proof of Theorem brres
StepHypRef Expression
1 opelres.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
21opelres 5114 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
3 df-br 4177 . 2  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D ) )
4 df-br 4177 . . 3  |-  ( A C B  <->  <. A ,  B >.  e.  C )
54anbi1i 677 . 2  |-  ( ( A C B  /\  A  e.  D )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
62, 3, 53bitr4i 269 1  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  ( A C B  /\  A  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   <.cop 3781   class class class wbr 4176    |` cres 4843
This theorem is referenced by:  dfres2  5156  dfima2  5168  poirr2  5221  cores  5336  resco  5337  rnco  5339  fnres  5524  fvres  5708  nfunsn  5724  1stconst  6398  2ndconst  6399  fsplit  6414  dprd2da  15559  metustidOLD  18546  metustid  18547  dvres  19755  dvres2  19756  axhcompl-zf  22458  hlimadd  22652  hhcmpl  22659  hhcms  22662  hlim0  22695  dfpo2  25330  dfdm5  25350  dfrn5  25351  wfrlem5  25478  frrlem5  25503  txpss3v  25636  brtxp  25638  pprodss4v  25642  brpprod  25643  brimg  25694  brapply  25695  funpartfun  25700  dfrdg4  25707  funressnfv  27863  dfdfat2  27866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-br 4177  df-opab 4231  df-xp 4847  df-res 4853
  Copyright terms: Public domain W3C validator