MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtpos Unicode version

Theorem brtpos 6330
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtpos
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6327 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
3 opex 4319 . . . . . . . . . 10  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
4 breldmg 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
543expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
63, 5mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
76adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
8 opelcnvg 4943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
107, 9sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F
) )
11 elun1 3418 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1210, 11syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
1312pm4.71rd 616 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
14 opswap 5241 . . . . . . 7  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
1514breq1i 4111 . . . . . 6  |-  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C )
1615anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) )
1713, 16syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
182, 17bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
1918ex 423 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
20 brtpos0 6328 . . 3  |-  ( C  e.  V  ->  ( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) )
21 opprc 3898 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
2221breq1d 4114 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  (/)tpos  F C ) )
23 ancom 437 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 opprc 3898 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
2524breq1d 4114 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2623, 25sylnbi 297 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2722, 26bibi12d 312 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C )  <-> 
( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) ) )
2820, 27syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
2919, 28pm2.61d 150 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    u. cun 3226   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   U.cuni 3908   class class class wbr 4104   `'ccnv 4770   dom cdm 4771  tpos ctpos 6320
This theorem is referenced by:  ottpos  6331  relbrtpos  6332  dmtpos  6333  rntpos  6334  ovtpos  6336  dftpos3  6339  tpostpos  6341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-fv 5345  df-tpos 6321
  Copyright terms: Public domain W3C validator