MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtpos2 Unicode version

Theorem brtpos2 6452
Description: Value of the transposition at a pair  <. A ,  B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 6451 . . . 4  |-  Rel tpos  F
21brrelexi 4885 . . 3  |-  ( Atpos 
F B  ->  A  e.  _V )
32a1i 11 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  ->  A  e.  _V ) )
4 elex 2932 . . . 4  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  A  e.  _V )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V ) )
7 df-tpos 6446 . . . . . 6  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
87breqi 4186 . . . . 5  |-  ( Atpos 
F B  <->  A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B )
9 brcog 5006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B  <->  E. y
( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
108, 9syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <->  E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
11 funmpt 5456 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
12 funbrfv2b 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  ->  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) )
14 snex 4373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
1514cnvex 5373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' {
x }  e.  _V
1615uniex 4672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { x }  e.  _V
17 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
1816, 17dmmpti 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
1918eleq2i 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
20 eqcom 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  =  y  <->  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A ) )
2119, 20anbi12i 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) ) )
22 sneq 3793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
2322cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  `' { x }  =  `' { A } )
2423unieqd 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  U. `' { x }  =  U. `' { A } )
25 snex 4373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { A }  e.  _V
2625cnvex 5373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { A }  e.  _V
2726uniex 4672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { A }  e.  _V
2824, 17, 27fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  U. `' { A } )
2928eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  <->  y  =  U. `' { A } ) )
3029pm5.32i 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3121, 30bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3213, 31bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
33 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3432, 33bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( y  = 
U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3534anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( (
y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B ) )
36 anass 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
3735, 36bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
3837exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) ) )
39 breq1 4183 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( y F B  <->  U. `' { A } F B ) )
4039anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
4127, 40ceqsexv 2959 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) )
4238, 41bitri 241 . . . 4  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) )
4310, 42syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
4443expcom 425 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) ) )
453, 6, 44pm5.21ndd 344 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    u. cun 3286   (/)c0 3596   {csn 3782   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   `'ccnv 4844   dom cdm 4845    o. ccom 4849   Fun wfun 5415   ` cfv 5421  tpos ctpos 6445
This theorem is referenced by:  brtpos0  6453  reldmtpos  6454  brtpos  6455  dftpos4  6465  tpostpos  6466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-fv 5429  df-tpos 6446
  Copyright terms: Public domain W3C validator