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Theorem brtpos2 6514
Description: Value of the transposition at a pair  <. A ,  B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 6513 . . . 4  |-  Rel tpos  F
21brrelexi 4947 . . 3  |-  ( Atpos 
F B  ->  A  e.  _V )
32a1i 11 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  ->  A  e.  _V ) )
4 elex 2970 . . . 4  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  A  e.  _V )
54adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V ) )
7 df-tpos 6508 . . . . . 6  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
87breqi 4243 . . . . 5  |-  ( Atpos 
F B  <->  A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B )
9 brcog 5068 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B  <->  E. y
( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
108, 9syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <->  E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
11 funmpt 5518 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
12 funbrfv2b 5800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  ->  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) )
14 snex 4434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
1514cnvex 5435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' {
x }  e.  _V
1615uniex 4734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { x }  e.  _V
17 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
1816, 17dmmpti 5603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
1918eleq2i 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
20 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  =  y  <->  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A ) )
2119, 20anbi12i 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) ) )
22 sneq 3849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
2322cnveqd 5077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  `' { x }  =  `' { A } )
2423unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  U. `' { x }  =  U. `' { A } )
25 snex 4434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { A }  e.  _V
2625cnvex 5435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { A }  e.  _V
2726uniex 4734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { A }  e.  _V
2824, 17, 27fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  U. `' { A } )
2928eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  <->  y  =  U. `' { A } ) )
3029pm5.32i 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3121, 30bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3213, 31bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
33 ancom 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3432, 33bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( y  = 
U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3534anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( (
y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B ) )
36 anass 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
3735, 36bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
3837exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) ) )
39 breq1 4240 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( y F B  <->  U. `' { A } F B ) )
4039anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
4127, 40ceqsexv 2997 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) )
4238, 41bitri 242 . . . 4  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) )
4310, 42syl6bb 254 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
4443expcom 426 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) ) )
453, 6, 44pm5.21ndd 345 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    u. cun 3304   (/)c0 3613   {csn 3838   U.cuni 4039   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   dom cdm 4907    o. ccom 4911   Fun wfun 5477   ` cfv 5483  tpos ctpos 6507
This theorem is referenced by:  brtpos0  6515  reldmtpos  6516  brtpos  6517  dftpos4  6527  tpostpos  6528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-fv 5491  df-tpos 6508
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