Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd Unicode version

Theorem brtxpsd 24434
Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd.1  |-  A  e. 
_V
brtxpsd.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brtxpsd  |-  ( -.  A ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V )
) B  <->  A. x
( x  e.  B  <->  x R A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R

Proof of Theorem brtxpsd
StepHypRef Expression
1 df-br 4024 . . 3  |-  ( A ran  ( ( _V 
(x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) ) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V )
) )
2 opex 4237 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
32elrn 4919 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
ran  ( ( _V 
(x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) )  <->  E. x  x (
( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) ) <. A ,  B >. )
4 brsymdif 24372 . . . . . 6  |-  ( x ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) ) <. A ,  B >. 
<->  -.  ( x ( _V  (x)  _E  ) <. A ,  B >.  <->  x
( R  (x)  _V ) <. A ,  B >. ) )
5 brv 24417 . . . . . . . . 9  |-  x _V A
6 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7 brtxpsd.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
8 brtxpsd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
96, 7, 8brtxp 24420 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( _V  (x)  _E  ) <. A ,  B >.  <-> 
( x _V A  /\  x  _E  B
) )
105, 9mpbiran 884 . . . . . . . 8  |-  ( x ( _V  (x)  _E  ) <. A ,  B >.  <-> 
x  _E  B )
118epelc 4307 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  B  <->  x  e.  B )
1210, 11bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( x ( _V  (x)  _E  ) <. A ,  B >.  <-> 
x  e.  B )
13 brv 24417 . . . . . . . 8  |-  x _V B
146, 7, 8brtxp 24420 . . . . . . . 8  |-  ( x ( R  (x)  _V ) <. A ,  B >.  <-> 
( x R A  /\  x _V B
) )
1513, 14mpbiran2 885 . . . . . . 7  |-  ( x ( R  (x)  _V ) <. A ,  B >.  <-> 
x R A )
1612, 15bibi12i 306 . . . . . 6  |-  ( ( x ( _V  (x)  _E  ) <. A ,  B >.  <-> 
x ( R  (x)  _V ) <. A ,  B >. )  <->  ( x  e.  B  <->  x R A ) )
174, 16xchbinx 301 . . . . 5  |-  ( x ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) ) <. A ,  B >. 
<->  -.  ( x  e.  B  <->  x R A ) )
1817exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x  x ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V )
) <. A ,  B >.  <->  E. x  -.  (
x  e.  B  <->  x R A ) )
193, 18bitri 240 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
ran  ( ( _V 
(x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) )  <->  E. x  -.  (
x  e.  B  <->  x R A ) )
20 exnal 1561 . . 3  |-  ( E. x  -.  ( x  e.  B  <->  x R A )  <->  -.  A. x
( x  e.  B  <->  x R A ) )
211, 19, 203bitrri 263 . 2  |-  ( -. 
A. x ( x  e.  B  <->  x R A )  <->  A ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V ) ) B )
2221con1bii 321 1  |-  ( -.  A ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( R  (x)  _V )
) B  <->  A. x
( x  e.  B  <->  x R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023    _E cep 4303   ran crn 4690  (++)csymdif 24361    (x) ctxp 24373
This theorem is referenced by:  brtxpsd2  24435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-eprel 4305  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-symdif 24362  df-txp 24395
  Copyright terms: Public domain W3C validator