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Theorem brwdom2 7541
 Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom2 *
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem brwdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2
2 0wdom 7538 . . . . . 6 *
3 breq1 4215 . . . . . 6 * *
42, 3syl5ibrcom 214 . . . . 5 *
54imp 419 . . . 4 *
6 0elpw 4369 . . . . . . 7
7 f1o0 5712 . . . . . . . 8
8 f1ofo 5681 . . . . . . . 8
9 0ex 4339 . . . . . . . . 9
10 foeq1 5649 . . . . . . . . 9
119, 10spcev 3043 . . . . . . . 8
127, 8, 11mp2b 10 . . . . . . 7
13 foeq2 5650 . . . . . . . . 9
1413exbidv 1636 . . . . . . . 8
1514rspcev 3052 . . . . . . 7
166, 12, 15mp2an 654 . . . . . 6
17 foeq3 5651 . . . . . . . 8
1817exbidv 1636 . . . . . . 7
1918rexbidv 2726 . . . . . 6
2016, 19mpbiri 225 . . . . 5
2120adantl 453 . . . 4
225, 212thd 232 . . 3 *
23 brwdomn0 7537 . . . . 5 *
2423adantl 453 . . . 4 *
25 foeq1 5649 . . . . . . 7
2625cbvexv 1985 . . . . . 6
27 pwidg 3811 . . . . . . . . 9
2827ad2antrr 707 . . . . . . . 8
29 foeq2 5650 . . . . . . . . . 10
3029exbidv 1636 . . . . . . . . 9
3130rspcev 3052 . . . . . . . 8
3228, 31sylancom 649 . . . . . . 7
3332ex 424 . . . . . 6
3426, 33syl5bi 209 . . . . 5
35 n0 3637 . . . . . . . . . . 11
3635biimpi 187 . . . . . . . . . 10
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . 9
38 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13
39 difexg 4351 . . . . . . . . . . . . . 14
40 snex 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
41 xpexg 4989 . . . . . . . . . . . . . 14
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
43 unexg 4710 . . . . . . . . . . . . 13
4438, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 452 . . . . . . . . . . 11
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
47 fofn 5655 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
50 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14
51 fnconstg 5631 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
53 disjdif 3700 . . . . . . . . . . . . . 14
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
55 fnun 5551 . . . . . . . . . . . . 13
5649, 52, 54, 55syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12
57 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 undif 3708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5957, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
6261fneq2d 5537 . . . . . . . . . . . 12
6356, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
64 rnun 5280 . . . . . . . . . . . 12
65 forn 5656 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6867uneq1d 3500 . . . . . . . . . . . . 13
69 fconst6g 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
73 ssequn2 3520 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
7568, 74eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
7664, 75syl5eq 2480 . . . . . . . . . . 11
77 df-fo 5460 . . . . . . . . . . 11
7863, 76, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
79 foeq1 5649 . . . . . . . . . . 11
8079spcegv 3037 . . . . . . . . . 10
8146, 78, 80sylc 58 . . . . . . . . 9
8237, 81exlimddv 1648 . . . . . . . 8
8382expr 599 . . . . . . 7
8483exlimdv 1646 . . . . . 6
8584rexlimdva 2830 . . . . 5
8634, 85impbid 184 . . . 4
8724, 86bitrd 245 . . 3 *
8822, 87pm2.61dane 2682 . 2 *
891, 88syl 16 1 *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  csn 3814   class class class wbr 4212   cxp 4876   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  wf1o 5453   * cwdom 7525 This theorem is referenced by:  brwdom3  7550 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-wdom 7527
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