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Theorem brwdom3 7296
Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 7295. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, X, x, y    f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)    W( x, y, f)

Proof of Theorem brwdom3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 elex 2796 . 2  |-  ( Y  e.  W  ->  Y  e.  _V )
3 brwdom2 7287 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
5 dffo3 5675 . . . . . . . 8  |-  ( f : z -onto-> X  <->  ( f : z --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) ) )
65simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) )
7 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
8 ssrexv 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  Y  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
1110ralimdv 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
126, 11syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  (
f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1312eximdv 1608 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. f  f :
z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1413rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. z  e. 
~P  Y E. f 
f : z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
154, 14sylbid 206 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
16 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  e.  _V )
17 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  Y  e.  _V )
18 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  y
) ) )
1918rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y
) ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
f `  y )  =  ( f `  w ) )
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  w
) ) )
2221cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2319, 22syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) ) )
2423cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2524biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2625adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w ) )
2726r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )  /\  z  e.  X )  ->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2816, 17, 27wdom2d 7294 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  ~<_*  Y )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3029exlimdv 1664 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3115, 30impbid 183 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
321, 2, 31syl2an 463 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255    ~<_* cwdom 7271
This theorem is referenced by:  brwdom3i  7297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-wdom 7273
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