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Theorem brwdom3 7550
Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 7549. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, X, x, y    f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)    W( x, y, f)

Proof of Theorem brwdom3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 elex 2964 . 2  |-  ( Y  e.  W  ->  Y  e.  _V )
3 brwdom2 7541 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
5 dffo3 5884 . . . . . . . 8  |-  ( f : z -onto-> X  <->  ( f : z --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) ) )
65simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) )
7 elpwi 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
8 ssrexv 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  Y  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
1110ralimdv 2785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
126, 11syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  (
f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1312eximdv 1632 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. f  f :
z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1413rexlimdva 2830 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. z  e. 
~P  Y E. f 
f : z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
154, 14sylbid 207 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
16 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  e.  _V )
17 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  Y  e.  _V )
18 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  y
) ) )
1918rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y
) ) )
20 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
f `  y )  =  ( f `  w ) )
2120eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  w
) ) )
2221cbvrexv 2933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2319, 22syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) ) )
2423cbvralv 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2524biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2625adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w ) )
2726r19.21bi 2804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )  /\  z  e.  X )  ->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2816, 17, 27wdom2d 7548 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  ~<_*  Y )
2928ex 424 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3029exlimdv 1646 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3115, 30impbid 184 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
321, 2, 31syl2an 464 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454    ~<_* cwdom 7525
This theorem is referenced by:  brwdom3i  7551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-wdom 7527
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