MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brwdomn0 Unicode version

Theorem brwdomn0 7283
Description: Weak dominance over nonempty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdomn0  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
Distinct variable groups:    z, X    z, Y

Proof of Theorem brwdomn0
StepHypRef Expression
1 relwdom 7280 . . . 4  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 4730 . . 3  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
32a1i 10 . 2  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V ) )
4 fof 5451 . . . . . 6  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
z : Y --> X )
5 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( z : Y --> X  ->  dom  z  =  Y
)
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  dom  z  =  Y
)
7 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
87dmex 4941 . . . . 5  |-  dom  z  e.  _V
96, 8syl6eqelr 2372 . . . 4  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V )
109exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. z  z : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V )
1110a1i 10 . 2  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( E. z  z : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V ) )
12 brwdom 7281 . . . 4  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
13 df-ne 2448 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  (/)  <->  -.  X  =  (/) )
14 biorf 394 . . . . . 6  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  ( E. z  z : Y -onto-> X  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
1513, 14sylbi 187 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( E. z  z : Y -onto-> X 
<->  ( X  =  (/)  \/ 
E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
1615bicomd 192 . . . 4  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X )  <->  E. z 
z : Y -onto-> X
) )
1712, 16sylan9bbr 681 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
1817ex 423 . 2  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
193, 11, 18pm5.21ndd 343 1  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   -onto->wfo 5253    ~<_* cwdom 7271
This theorem is referenced by:  brwdom2  7287  wdomtr  7289  wdompwdom  7292  canthwdom  7293  wdomfil  7688  fin1a2lem7  8032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-wdom 7273
  Copyright terms: Public domain W3C validator