Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnconn1lem8 Structured version   Unicode version

Theorem btwnconn1lem8 26028
 Description: Lemma for btwnconn1 26035. Now, we introduce the last three points used in the construction: , , and will turn out to be equal further down, and will provide us with the key to the final statement. We begin by establishing congruence of and (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwnconn1lem8 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr

Proof of Theorem btwnconn1lem8
StepHypRef Expression
1 simpr2l 1016 . . . 4 Cgr Cgr Cgr
21ad2antll 710 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
3 simpr1r 1015 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr
43ad2antll 710 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
5 simp11 987 . . . . . . . 8
6 simp2l1 1056 . . . . . . . 8
7 simp31 993 . . . . . . . 8
8 simp2r1 1059 . . . . . . . 8
9 cgrcomlr 25932 . . . . . . . 8 Cgr Cgr
105, 6, 7, 6, 8, 9syl122anc 1193 . . . . . . 7 Cgr Cgr
11 cgrcom 25924 . . . . . . . 8 Cgr Cgr
125, 7, 6, 8, 6, 11syl122anc 1193 . . . . . . 7 Cgr Cgr
1310, 12bitrd 245 . . . . . 6 Cgr Cgr
1413adantr 452 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
154, 14mpbid 202 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
16 simp33 995 . . . . 5
17 simp2r3 1061 . . . . 5
18 simp2l3 1058 . . . . . . 7
19 simpr1l 1014 . . . . . . . 8 Cgr Cgr Cgr
2019ad2antll 710 . . . . . . 7 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
215, 6, 18, 7, 20btwncomand 25949 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
22 simprll 739 . . . . . . 7 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2322adantl 453 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
24 btwnintr 25953 . . . . . . . 8
255, 7, 6, 17, 18, 24syl122anc 1193 . . . . . . 7
2625adantr 452 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2721, 23, 26mp2and 661 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
28 simpr2r 1017 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr
2928ad2antll 710 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
305, 8, 6, 16, 7, 6, 17, 2, 27, 15, 29cgrextendand 25943 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
31 brcgr3 25980 . . . . . 6 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
325, 8, 6, 16, 7, 6, 17, 31syl133anc 1207 . . . . 5 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
3332adantr 452 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr Cgr
3415, 30, 29, 33mpbir3and 1137 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3
355, 8, 7cgrrflx2d 25918 . . . . 5 Cgr
3635adantr 452 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
3736, 4jca 519 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
382, 34, 373jca 1134 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr
39 simp1 957 . . . . 5
40 simp2l 983 . . . . 5
41 simp2r 984 . . . . 5
4239, 40, 413jca 1134 . . . 4
43 simpl 444 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
44 simprl 733 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4543, 44jca 519 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
46 btwnconn1lem7 26027 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
4742, 45, 46syl2an 464 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4847necomd 2687 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
49 brofs2 26011 . . . . . 6 Cgr3 Cgr Cgr
5049anbi1d 686 . . . . 5 Cgr3 Cgr Cgr
51 5segofs 25940 . . . . 5 Cgr
5250, 51sylbird 227 . . . 4 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
535, 8, 6, 16, 7, 7, 6, 17, 8, 52syl333anc 1216 . . 3 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
5453adantr 452 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr Cgr
5538, 48, 54mp2and 661 1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725   wne 2599  cop 3817   class class class wbr 4212  cfv 5454  cn 10000  cee 25827   cbtwn 25828  Cgrccgr 25829   cofs 25916  Cgr3ccgr3 25970 This theorem is referenced by:  btwnconn1lem9  26029  btwnconn1lem10  26030  btwnconn1lem11  26031 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-ee 25830  df-btwn 25831  df-cgr 25832  df-ofs 25917  df-ifs 25973  df-cgr3 25974
 Copyright terms: Public domain W3C validator