Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnsegle Unicode version

Theorem btwnsegle 25767
Description: If  B falls between  A and  C, then 
A B is no longer than  A C. (Contributed by Scott Fenton, 16-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
btwnsegle  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  C >.  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  C >. ) )

Proof of Theorem btwnsegle
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
3 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  N  e.  NN )
4 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
5 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
63, 4, 5cgrrflxd 25638 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. )
8 breq1 4158 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  Btwn  <. A ,  C >. 
<->  B  Btwn  <. A ,  C >. ) )
9 opeq2 3929 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
109breq2d 4167 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )
118, 10anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >. )  <->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
1211rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( x  Btwn  <. A ,  C >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >. ) )
131, 2, 7, 12syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( x  Btwn  <. A ,  C >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >. ) )
14 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
15 brsegle 25758 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  C >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( x  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
163, 4, 5, 4, 14, 15syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. A ,  C >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( x 
Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. A ,  x >. ) ) )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  C >. 
<->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( x  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
1813, 17mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  B  Btwn  <. A ,  C >. )  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  C >. )
1918ex 424 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  C >.  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  C >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   <.cop 3762   class class class wbr 4155   ` cfv 5396   NNcn 9934   EEcee 25543    Btwn cbtwn 25544  Cgrccgr 25545    Seg<_ csegle 25756
This theorem is referenced by:  colinbtwnle  25768  outsidele  25782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-sum 12409  df-ee 25546  df-cgr 25548  df-segle 25757
  Copyright terms: Public domain W3C validator