MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Structured version   Unicode version

Theorem btwnz 10403
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9395 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 arch 10249 . . . 4  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z
)
4 nnre 10038 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
5 ltnegcon1 9560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
z  <->  -u z  <  A
) )
65ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
74, 6syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
87pm5.32d 622 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  -u z  <  A ) ) )
9 nnnegz 10316 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  -u z  e.  ZZ )
10 breq1 4240 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u z  ->  (
x  <  A  <->  -u z  < 
A ) )
1110rspcev 3058 . . . . . . 7  |-  ( (
-u z  e.  ZZ  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
129, 11sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
138, 12syl6bi 221 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
1413exp3a 427 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) ) )
1514rexlimdv 2835 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  NN  -u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
163, 15mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A
)
17 arch 10249 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  A  <  y
)
18 nnz 10334 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1918anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A  <  y )  -> 
( y  e.  ZZ  /\  A  <  y ) )
2019reximi2 2818 . . 3  |-  ( E. y  e.  NN  A  <  y  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2117, 20syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2216, 21jca 520 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1727   E.wrex 2712   class class class wbr 4237   RRcr 9020    < clt 9151   -ucneg 9323   NNcn 10031   ZZcz 10313
This theorem is referenced by:  lbzbi  10595  rpnnen1lem1  10631  rpnnen1lem2  10632  rpnnen1lem3  10633  rpnnen1lem5  10635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-z 10314
  Copyright terms: Public domain W3C validator