Theorem btwnz 6215

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- (A e. RR -> (E.x e. ZZ x < A /\ E.y e. ZZ A < y))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Proof of Theorem btwnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegclt 5437	. . . 4 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
2		arch 6071	. . . 4 |- (-uA e. RR -> E.z e. NN -uA < z)
3	1, 2	syl 10	. . 3 |- (A e. RR -> E.z e. NN -uA < z)
4		ltnegcon1t 5656	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ z e. RR) -> (-uA < z <-> -uz < A))
5	4	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (z e. RR -> (-uA < z <-> -uz < A)))
6		nnret 5929	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> z e. RR)
7	5, 6	syl5 21	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (z e. NN -> (-uA < z <-> -uz < A)))
8	7	pm5.32d 647	. . . . . 6 |- (A e. RR -> ((z e. NN /\ -uA < z) <-> (z e. NN /\ -uz < A)))
9		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (x = -uz -> (x < A <-> -uz < A))
10	9	rcla4ev 1877	. . . . . . 7 |- ((-uz e. ZZ /\ -uz < A) -> E.x e. ZZ x < A)
11		nnnegz 6138	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> -uz e. ZZ)
12	10, 11	sylan 448	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ -uz < A) -> E.x e. ZZ x < A)
13	8, 12	syl6bi 214	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((z e. NN /\ -uA < z) -> E.x e. ZZ x < A))
14	13	exp3a 375	. . . 4 |- (A e. RR -> (z e. NN -> (-uA < z -> E.x e. ZZ x < A)))
15	14	r19.23adv 1746	. . 3 |- (A e. RR -> (E.z e. NN -uA < z -> E.x e. ZZ x < A))
16	3, 15	mpd 26	. 2 |- (A e. RR -> E.x e. ZZ x < A)
17		arch 6071	. . 3 |- (A e. RR -> E.y e. NN A < y)
18		nnzt 6153	. . . . 5 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
19	18	anim1i 334	. . . 4 |- ((y e. NN /\ A < y) -> (y e. ZZ /\ A < y))
20	19	r19.22i2 1733	. . 3 |- (E.y e. NN A < y -> E.y e. ZZ A < y)
21	17, 20	syl 10	. 2 |- (A e. RR -> E.y e. ZZ A < y)
22	16, 21	jca 288	1 |- (A e. RR -> (E.x e. ZZ x < A /\ E.y e. ZZ A < y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  RRcr 5233  -ucneg 5293  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 6216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-z 6136

Copyright terms: Public domain