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Theorem bwt2 25592
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. Certainly the first general topology theorem ever proved. In his course Weierstrass called it a lemma. He certainly didn't know how famous this theorem would be. He used an euclidian space instead of a general compact space. And he was not conscious of the Heine-Borel property. Cantor was one of his students. He used the concept of neighborhood and limit point invented by his master when he studied the linear point sets and the rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwt2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwt2
Dummy variables  f 
b  o  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 17122 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
2 bwt2.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32islp3 25514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
433exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
65imp31 421 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  -> 
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
76rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
87notbid 285 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
983adant3 975 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
10 negcmpprcal1 24945 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
11 uniexg 4517 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
122, 11syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  X  e. 
_V )
13 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
14 nne 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
15 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/)  <->  (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
1714, 16syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )
1813, 17anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
1918ac6sg 8115 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
2012, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) ) )
21203ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
22 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  C_  J )
23 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
2423rnex 4942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  f  e.  _V
2524elpw 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  e.  ~P J  <->  ran  f  C_  J )
2622, 25sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  e.  ~P J )
2726adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ran  f  e.  ~P J
)
28 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  U. J
)
2922, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  U. J
)
3029, 2syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  X
)
31 df-ral 2548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) 
<-> 
A. x ( x  e.  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )
32 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
33 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : X --> J  ->  dom  f  =  X
)
34 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  <->  x  e.  dom  f ) )
3534biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  dom  f
) )
36 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : X --> J  ->  Fun  f )
37 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f `  x )  e.  ran  f ) )
39 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( f `  x
)  e.  ran  f
)  ->  x  e.  U.
ran  f )
4039ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  x  e.  U. ran  f ) )
41 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  U. ran  f  ->  x  e. 
U. ran  f )
)
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( x  e. 
U. ran  f  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
4342com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  U. ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
4440, 43syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
4544com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4638, 45syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4746com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun  f  ->  ( f : X --> J  ->  (
x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4836, 47mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4948com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5035, 49syl6com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) ) )
5150com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5251eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( dom  f  =  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5333, 52mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
5453impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5554com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
x  e.  X  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5732, 56syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5857pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5958com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
6059alimdv 1607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) )
6131, 60syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
62613impia 1148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) )
63 dfss2 3169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
C_  U. ran  f  <->  A. x
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6462, 63sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  C_  U. ran  f
)
65 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
6664, 65eqssd 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f
)
67663exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) ) )
6830, 67mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) )
6968imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f )
7027, 69jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f ) )
712iscmp 17115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  ~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
72 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  ->  U. a  =  U. ran  f )
7372eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( X  =  U. a 
<->  X  =  U. ran  f ) )
74 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ran  f  ->  ~P a  =  ~P ran  f )
7574ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )
7675rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  = 
U. z ) )
7773, 76imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
7877rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
79 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )
)
80 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
81 isunscov 25074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
82813exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
8382com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
84 elelpwi 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  ~P ran  f )  ->  b  e.  ran  f )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  b  e.  ran  f ) )
86 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : X --> J  -> 
f  Fn  X )
87 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  <->  E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b ) )
88 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin
89 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )
90 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )
9189, 90nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9288, 91nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  F/ x
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
93 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
) )
9493eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin ) )
9594notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin ) )
9695biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
9796eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
98 difeq1 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  (
( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } ) )
99 0dif 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (/)  \  { x } )  =  (/)
100 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  ( (/)  \  { x } )  /\  ( (/)  \  {
x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )
101100ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  (/) ) )
102 difindir 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )
103 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( ( A  \  { x }
)  \  { x } ) )  =  (/) )
104 difabs 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( A  \  { x } )  \  {
x } )  =  ( A  \  {
x } )
105104ineq2i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )
106 eqtr2 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )
107 difindir 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )
108107eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )
109 eqtr2 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  i^i 
A )  \  {
x } )  =  (/) )
110 0fin 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  (/)  e.  Fin
111 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( f `  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
)
112111difeq1i 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )
113112eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  e.  Fin  <->  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
114 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
115113, 114syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
116110, 115mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
117 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  { x }  e.  Fin
118 difinf 7127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( -.  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin  /\ 
{ x }  e.  Fin )  ->  -.  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
119117, 118mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  -.  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
120119con4i 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
121109, 116, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
122108, 121mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin )
123106, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
124105, 123mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
125124pm2.24d 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
126103, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
127126ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
128127eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
129102, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
130101, 129syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13198, 99, 130ee10 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) )
132131adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
133132imim2i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
134133sps 1739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13531, 134sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) ) )
136135com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
13797, 136syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
138137com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  X  ->  (
( f `  x
)  =  b  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
13992, 138rexlimi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
14087, 139syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
141140com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  Fn  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( b  e. 
ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
14286, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
143142imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
144143com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ran  f  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14585, 144syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
146145com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  z  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
147146rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14883, 147syl8 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  ( z  e. 
~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
149148com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
150149imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
151150com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  U. z  ->  (
( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
15280, 151syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  ->  ( ( z  e. 
~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
153152com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( X  = 
U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
15479, 153sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  -> 
( X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
155154rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
1561553impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
15778, 156syl8 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
158157com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
159158imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  ( A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
160159com3l 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
1611603expd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
162161adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )  -> 
( A  C_  X  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
16371, 162sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
1641633imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
165164com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( J  e. 
Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
16670, 165mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
167166exlimiv 1666 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
168167com12 27 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
16921, 168syld 40 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
17010, 169syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
1719, 170sylbid 206 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
172171pm2.18d 103 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Topctop 16631   limPtclp 16866   Compccmp 17113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lp 16868  df-cmp 17114
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