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Theorem c1lip1 19344
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
c1lip1.dv  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
c1lip1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3461 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
4 ral0 3558 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5 c1lip1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65rexrd 8881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7 c1lip1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87rexrd 8881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 10704 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211raleqdv 2742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  <->  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
134, 12mpbiri 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
1413ralrimivw 2627 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15 r19.2z 3543 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
163, 14, 15sylancr 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
175adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
187adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
19 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
20 c1lip1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
22 c1lip1.dv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
24 c1lip1.cn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( F  |`  ( A [,] B
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
26 eqid 2283 . . . . 5  |-  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )
2717, 18, 19, 21, 23, 25, 26c1liplem1 19343 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
28 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  =  ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )
2928breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <-> 
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
31302ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <->  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
3231rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3327, 32syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
34 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
355, 7, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
3736sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR )
)
3836sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
y  e.  RR ) )
3937, 38anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4039imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
41 lttri4 8906 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
4240, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
43 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  b  <->  x  <  b ) )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
4544oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x ) ) ) )
47 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  x ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  x ) ) )
4948oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  x ) ) ) )
5046, 49breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) )
5143, 50imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( x  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) ) )
52 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
x  <  b  <->  x  <  y ) )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
56 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  x )  =  ( y  -  x ) )
5756fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5857oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
5955, 58breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
6052, 59imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) ) )  <->  ( x  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6151, 60rspc2v 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6261ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
63 pm2.27 35 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <  y  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6463adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6562, 64syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
66 0le0 9827 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
67 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6867ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
69 cncff 18397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7024, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  x )  e.  RR )
7471, 72, 73syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  e.  RR )
7568, 74eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7675recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7776subidd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  0 )
7877fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
79 abs0 11770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  0 )
8135ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
8381, 82sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
8483recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  CC )
8584subidd 9145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  -  x )  =  0 )
8685fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  0
) )
8786, 79syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  0 )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  0 ) )
89 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  RR )
9089recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  CC )
9190mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
9288, 91eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  0 )
9380, 92breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  0  <_  0 ) )
9466, 93mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) ) )
95 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9695oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
98 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  x )  =  ( y  -  x ) )
9998fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
10099oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
10197, 100breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
10294, 101syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  =  y  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
103102imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
104103a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
105 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
a  <  b  <->  y  <  b ) )
106 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
107106oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )
108107fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y ) ) ) )
109 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  y ) )
110109fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  y ) ) )
111110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  y ) ) ) )
112108, 111breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) )
113105, 112imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( y  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) ) )
114 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
y  <  b  <->  y  <  x ) )
115 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  ( F `  b )  =  ( F `  x ) )
116115oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )
117116fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y ) ) ) )
118 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  (
b  -  y )  =  ( x  -  y ) )
119118fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  y ) )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
120119oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( x  -  y ) ) ) )
121117, 120breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) )
122114, 121imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( y  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) ) )  <->  ( y  <  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
123113, 122rspc2v 2890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A [,] B )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
124123ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
125124ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
126 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
127 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
128127ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
130 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  y )  e.  RR )
13171, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  e.  RR )
132128, 131eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
133132recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
13476, 133abssubd 11935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
136 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
137 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
138 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
139136, 137, 138syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
14040, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
142141oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
143135, 142breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
144143biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
145126, 144embantd 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( y  <  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
146125, 145syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14765, 104, 1463jaodan 1248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14842, 147mpdan 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
149148ralrimdvva 2638 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
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) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
150149reximdva 2655 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
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b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
15133, 150mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15216, 151, 7, 5ltlecasei 8928 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  c1lip2  19345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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