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Theorem c1lip1 19360
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
c1lip1.dv  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
c1lip1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
4 ral0 3571 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5 c1lip1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7 c1lip1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 10720 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  <->  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
134, 12mpbiri 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
1413ralrimivw 2640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15 r19.2z 3556 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
163, 14, 15sylancr 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
175adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
187adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
19 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
20 c1lip1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
22 c1lip1.dv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
24 c1lip1.cn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( F  |`  ( A [,] B
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
26 eqid 2296 . . . . 5  |-  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )
2717, 18, 19, 21, 23, 25, 26c1liplem1 19359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
28 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  =  ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )
2928breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <-> 
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
31302ralbidv 2598 . . . . 5  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <->  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
3231rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3327, 32syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
34 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
355, 7, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
3736sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR )
)
3836sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
y  e.  RR ) )
3937, 38anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4039imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
41 lttri4 8922 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
4240, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
43 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  b  <->  x  <  b ) )
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
4544oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )
4645fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x ) ) ) )
47 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  x ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  x ) ) )
4948oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  x ) ) ) )
5046, 49breq12d 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) )
5143, 50imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( x  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) ) )
52 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
x  <  b  <->  x  <  y ) )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
56 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  x )  =  ( y  -  x ) )
5756fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5857oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
5955, 58breq12d 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
6052, 59imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) ) )  <->  ( x  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6151, 60rspc2v 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6261ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
63 pm2.27 35 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <  y  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6463adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6562, 64syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
66 0le0 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
67 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6867ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
69 cncff 18413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7024, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  x )  e.  RR )
7471, 72, 73syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  e.  RR )
7568, 74eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7675recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7776subidd 9161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  0 )
7877fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
79 abs0 11786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  0 )
8135ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
8381, 82sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
8483recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  CC )
8584subidd 9161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  -  x )  =  0 )
8685fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  0
) )
8786, 79syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  0 )
8887oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  0 ) )
89 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  RR )
9089recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  CC )
9190mul01d 9027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
9288, 91eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  0 )
9380, 92breq12d 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  0  <_  0 ) )
9466, 93mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) ) )
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9695oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
9796fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
98 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  x )  =  ( y  -  x ) )
9998fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
10197, 100breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
10294, 101syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  =  y  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
103102imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
104103a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
105 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
a  <  b  <->  y  <  b ) )
106 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
107106oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )
108107fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y ) ) ) )
109 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  y ) )
110109fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  y ) ) )
111110oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  y ) ) ) )
112108, 111breq12d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) )
113105, 112imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( y  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) ) )
114 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
y  <  b  <->  y  <  x ) )
115 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  ( F `  b )  =  ( F `  x ) )
116115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )
117116fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y ) ) ) )
118 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  (
b  -  y )  =  ( x  -  y ) )
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  y ) )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
120119oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( x  -  y ) ) ) )
121117, 120breq12d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) )
122114, 121imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( y  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) ) )  <->  ( y  <  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
123113, 122rspc2v 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A [,] B )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
124123ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
125124ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
126 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
127 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
128127ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
130 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  y )  e.  RR )
13171, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  e.  RR )
132128, 131eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
133132recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
13476, 133abssubd 11951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
136 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
137 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
138 abssub 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
139136, 137, 138syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
14040, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
142141oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
143135, 142breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
144143biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
145126, 144embantd 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( y  <  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
146125, 145syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14765, 104, 1463jaodan 1248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14842, 147mpdan 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
149148ralrimdvva 2651 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
150149reximdva 2668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
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b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
15133, 150mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15216, 151, 7, 5ltlecasei 8944 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   [,]cicc 10675   abscabs 11735   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  c1lip2  19361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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