MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip3 Unicode version

Theorem c1lip3 19444
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip3.f  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
c1lip3.rn  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
c1lip3.dm  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  F )
Assertion
Ref Expression
c1lip3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip3
StepHypRef Expression
1 c1lip3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 c1lip3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 c1lip3.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
4 df-ima 4781 . . . 4  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
5 c1lip3.rn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
64, 5syl5eqssr 3299 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
7 iccssre 10820 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
81, 2, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 c1lip3.dm . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  F )
108, 9ssind 3469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( RR  i^i  dom  F ) )
11 dmres 5055 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  RR )  =  ( RR  i^i  dom  F )
1210, 11syl6sseqr 3301 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  ( F  |`  RR ) )
131, 2, 3, 6, 12c1lip2 19443 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
148sseld 3255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
158sseld 3255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  y  e.  RR ) )
1614, 15anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
1716imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
18 fvres 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F  |`  RR ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
19 fvres 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F  |`  RR ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
2018, 19oveqan12rd 5962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) )  =  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )
2120fveq2d 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) ) )
2221breq1d 4112 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  <-> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2322biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2417, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2524anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2625ralimdva 2697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2726ralimdva 2697 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2827reximdv 2730 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
2913, 28mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   dom cdm 4768   ran crn 4769    |` cres 4770   "cima 4771   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   RRcr 8823   1c1 8825    x. cmul 8829    <_ cle 8955    - cmin 9124   [,]cicc 10748   abscabs 11809   C ^nccpn 19313
This theorem is referenced by:  aalioulem3  19812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-dvn 19316  df-cpn 19317
  Copyright terms: Public domain W3C validator