Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1liplem1 Structured version   Unicode version

Theorem c1liplem1 19870
 Description: Lemma for c1lip1 19871. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1liplem1.a
c1liplem1.b
c1liplem1.le
c1liplem1.f
c1liplem1.dv
c1liplem1.cn
c1liplem1.k
Assertion
Ref Expression
c1liplem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem c1liplem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c1liplem1.k . . 3
2 imassrn 5208 . . . . . 6
3 absf 12131 . . . . . . 7
4 frn 5589 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6
62, 5sstri 3349 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 dvf 19784 . . . . . . . 8
9 ffun 5585 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7
1110a1i 11 . . . . . 6
12 c1liplem1.dv . . . . . . . 8
13 cncff 18913 . . . . . . . 8
14 fdm 5587 . . . . . . . 8
1512, 13, 143syl 19 . . . . . . 7
16 ssdmres 5160 . . . . . . 7
1715, 16sylibr 204 . . . . . 6
18 c1liplem1.a . . . . . . . 8
1918rexrd 9124 . . . . . . 7
20 c1liplem1.b . . . . . . . 8
2120rexrd 9124 . . . . . . 7
22 c1liplem1.le . . . . . . 7
23 lbicc2 11003 . . . . . . 7
2419, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . 6
25 funfvima2 5966 . . . . . . 7
2625imp 419 . . . . . 6
2711, 17, 24, 26syl21anc 1183 . . . . 5
28 ffun 5585 . . . . . . 7
293, 28ax-mp 8 . . . . . 6
30 imassrn 5208 . . . . . . . 8
31 frn 5589 . . . . . . . . 9
328, 31ax-mp 8 . . . . . . . 8
3330, 32sstri 3349 . . . . . . 7
343fdmi 5588 . . . . . . 7
3533, 34sseqtr4i 3373 . . . . . 6
36 funfvima2 5966 . . . . . 6
3729, 35, 36mp2an 654 . . . . 5
38 ne0i 3626 . . . . 5
3927, 37, 383syl 19 . . . 4
40 ax-resscn 9037 . . . . . . . 8
41 ssid 3359 . . . . . . . 8
42 cncfss 18919 . . . . . . . 8
4340, 41, 42mp2an 654 . . . . . . 7
4443, 12sseldi 3338 . . . . . 6
45 cniccbdd 19348 . . . . . 6
4618, 20, 44, 45syl3anc 1184 . . . . 5
47 fvelima 5770 . . . . . . . . . 10
4829, 47mpan 652 . . . . . . . . 9
49 fvelima 5770 . . . . . . . . . . . . . 14
5010, 49mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13
51 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5655breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5853, 57eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15
6259, 61syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . 14
6362rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13
6450, 63syl5 30 . . . . . . . . . . . 12
6564imp 419 . . . . . . . . . . 11
66 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10
6867rexlimdva 2822 . . . . . . . . 9
6948, 68syl5 30 . . . . . . . 8
7069ralrimiv 2780 . . . . . . 7
7170ex 424 . . . . . 6
7271reximdva 2810 . . . . 5
7346, 72mpd 15 . . . 4
74 suprcl 9958 . . . 4
757, 39, 73, 74syl3anc 1184 . . 3
761, 75syl5eqel 2519 . 2
77 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11
78 fvres 5737 . . . . . . . . . . 11
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . 10
80 c1liplem1.cn . . . . . . . . . . . . . 14
81 cncff 18913 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
8483, 77ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11
8584recnd 9104 . . . . . . . . . 10
8679, 85eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9
87 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11
88 fvres 5737 . . . . . . . . . . 11
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . 10
9083, 87ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11
9190recnd 9104 . . . . . . . . . 10
9289, 91eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9
9386, 92subcld 9401 . . . . . . . 8
94 iccssre 10982 . . . . . . . . . . . . 13
9518, 20, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
9695ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
9796, 77sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
9896, 87sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
9997, 98resubcld 9455 . . . . . . . . 9
10099recnd 9104 . . . . . . . 8
101 simpr 448 . . . . . . . . . 10
102 difrp 10635 . . . . . . . . . . 11
10398, 97, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
104101, 103mpbid 202 . . . . . . . . 9
105104rpne0d 10643 . . . . . . . 8
10693, 100, 105absdivd 12247 . . . . . . 7
1076a1i 11 . . . . . . . . 9
10839ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
10973ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
11029a1i 11 . . . . . . . . . 10
11193, 100, 105divcld 9780 . . . . . . . . . . 11
112111, 34syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . 10
11398rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . . . 15
11497rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . . . 15
11598, 97, 101ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 ubicc2 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15
117113, 114, 115, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
118 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . 14
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
120 lbicc2 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15
121113, 114, 115, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
122 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . 14
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
124119, 123oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12
125124oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
126 iccss2 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 resabs1 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
13080ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 rescncf 18917 . . . . . . . . . . . . . . 15
132127, 130, 131sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14
133129, 132eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13
13440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135 c1liplem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136135ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137 cnex 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138 reex 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139137, 138elpm2 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140139simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141136, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142139simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143136, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144 iccssre 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14598, 97, 144syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld fld
147146tgioo2 18824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fldt
148146, 147dvres 19788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149134, 141, 143, 145, 148syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 iccntr 18842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15198, 97, 150syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152151reseq2d 5138 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153149, 152eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
154153dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . 14
155 ioossicc 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
156155, 127syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15717ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158156, 157sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 ssdmres 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15
160158, 159sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
161154, 160eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
16298, 97, 101, 133, 161mvth 19866 . . . . . . . . . . . 12
163153fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166165ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167164, 166eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170156sseld 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171170impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
172 funfvima2 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173172imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174168, 169, 171, 173syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175167, 174eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
176 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15
177175, 176syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . 14
178177expr 599 . . . . . . . . . . . . 13
179178rexlimdv 2821 . . . . . . . . . . . 12
180162, 179mpd 15 . . . . . . . . . . 11
181125, 180eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10
182 funfvima 5965 . . . . . . . . . . 11
183182imp 419 . . . . . . . . . 10
184110, 112, 181, 183syl21anc 1183 . . . . . . . . 9
185 suprub 9959 . . . . . . . . 9
186107, 108, 109, 184, 185syl31anc 1187 . . . . . . . 8
187186, 1syl6breqr 4244 . . . . . . 7
188106, 187eqbrtrrd 4226 . . . . . 6
18993abscld 12228 . . . . . . 7
19076ad2antrr 707 . . . . . . 7
191100, 105absrpcld 12240 . . . . . . 7
192189, 190, 191ledivmuld 10687 . . . . . 6
193188, 192mpbid 202 . . . . 5
194191rpcnd 10640 . . . . . 6
195190recnd 9104 . . . . . 6
196194, 195mulcomd 9099 . . . . 5
197193, 196breqtrd 4228 . . . 4
198197ex 424 . . 3
199198ralrimivva 2790 . 2
20076, 199jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   wfun 5440  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cpm 7011  csup 7437  cc 8978  cr 8979   cmul 8985  cxr 9109   clt 9110   cle 9111   cmin 9281   cdiv 9667  crp 10602  cioo 10906  cicc 10909  cabs 12029  ctopn 13639  ctg 13655  ℂfldccnfld 16693  cnt 17071  ccncf 18896   cdv 19740 This theorem is referenced by:  c1lip1  19871 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-cmp 17440  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
 Copyright terms: Public domain W3C validator