Theorem canth2g 4485

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
canth2g	|- (A e. B -> A ~< P~A)

Proof of Theorem canth2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 2403	. . 3 |- (x = A -> P~x = P~A)
2		breq12 2624	. . 3 |- ((x = A /\ P~x = P~A) -> (x ~< P~x <-> A ~< P~A))
3	1, 2	mpdan 704	. 2 |- (x = A -> (x ~< P~x <-> A ~< P~A))
4		visset 1813	. . 3 |- x e. V
5	4	canth2 4484	. 2 |- x ~< P~x
6	3, 5	vtoclg 1847	1 |- (A e. B -> A ~< P~A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  P~cpw 2401   class class class wbr 2619   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  pwuninel 4486  2pwuninel 4487  pwfiOLD 4571  canth3 4850  ondomon 4856

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain