Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canth4 Unicode version

Theorem canth4 8269
 Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6294. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3
Assertion
Ref Expression
canth4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem canth4
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . 8
2 eqid 2283 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 441 . . . . . . 7
4 canth4.1 . . . . . . . 8
5 elex 2796 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 976 . . . . . . . 8
7 simpl2 959 . . . . . . . . 9
8 simp3 957 . . . . . . . . . 10
98sselda 3180 . . . . . . . . 9
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . 8
12 canth4.2 . . . . . . . 8
134, 6, 11, 12fpwwe 8268 . . . . . . 7
143, 13mpbiri 224 . . . . . 6
1514simpld 445 . . . . 5
164, 6fpwwelem 8267 . . . . 5
1715, 16mpbid 201 . . . 4
1817simpld 445 . . 3
1918simpld 445 . 2
20 canth4.3 . . . . 5
21 cnvimass 5033 . . . . 5
2220, 21eqsstri 3208 . . . 4
2318simprd 449 . . . . . 6
24 dmss 4878 . . . . . 6
2523, 24syl 15 . . . . 5
26 dmxpid 4898 . . . . 5
2725, 26syl6sseq 3224 . . . 4
2822, 27syl5ss 3190 . . 3
2914simprd 449 . . . . 5
3017simprd 449 . . . . . . . . 9
3130simpld 445 . . . . . . . 8
32 weso 4384 . . . . . . . 8
3331, 32syl 15 . . . . . . 7
34 sonr 4335 . . . . . . 7
3533, 29, 34syl2anc 642 . . . . . 6
3620eleq2i 2347 . . . . . . 7
37 fvex 5539 . . . . . . . 8
3837eliniseg 5042 . . . . . . . 8
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . 7
4036, 39bitri 240 . . . . . 6
4135, 40sylnibr 296 . . . . 5
42 nelne1 2535 . . . . 5
4329, 41, 42syl2anc 642 . . . 4
4443necomd 2529 . . 3
45 df-pss 3168 . . 3
4628, 44, 45sylanbrc 645 . 2
4730simprd 449 . . . 4
48 sneq 3651 . . . . . . . . 9
4948imaeq2d 5012 . . . . . . . 8
5049, 20syl6eqr 2333 . . . . . . 7
5150fveq2d 5529 . . . . . 6
52 id 19 . . . . . 6
5351, 52eqeq12d 2297 . . . . 5
5453rspcv 2880 . . . 4
5529, 47, 54sylc 56 . . 3
5655eqcomd 2288 . 2
5719, 46, 563jca 1132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  cvv 2788   cin 3151   wss 3152   wpss 3153  cpw 3625  csn 3640  cuni 3827   class class class wbr 4023  copab 4076   wor 4313   wwe 4351   cxp 4687  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  canthnumlem  8270  canthp1lem2  8275 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-1st 6122  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-oi 7225  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator