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Theorem canthp1lem2 8530
Description: Lemma for canthp1 8531. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthp1lem2.1  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
canthp1lem2.2  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
canthp1lem2.3  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
canthp1lem2.4  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
canthp1lem2.5  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
canthp1lem2.6  |-  B  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
canthp1lem2  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, r,
y, A    B, r, x, y    H, r, x, y    ph, r, x, y    W, r, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, r)    G( x, y, r)

Proof of Theorem canthp1lem2
StepHypRef Expression
1 canthp1lem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
2 relsdom 7118 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<
32brrelex2i 4921 . . . . . 6  |-  ( 1o 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
5 pwexg 4385 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  _V )
7 canthp1lem2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
8 f1oeng 7128 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  _V  /\  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
96, 7, 8syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
10 ensym 7158 . . 3  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
12 canth2g 7263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
134, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  ~<  ~P A
)
14 sdomen2 7254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
159, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
1613, 15mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  ~<  ( A  +c  1o ) )
17 sdomnen 7138 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
19 omelon 7603 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
20 onenon 7838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  dom  card
22 canthp1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
23 dff1o3 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  <->  ( F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  /\  Fun  `' F ) )
2423simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  Fun  `' F )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Fun  `' F )
26 f1ofo 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o ) )
277, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
28 f1ofn 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F  Fn  ~P A
)
29 fnresdm 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  Fn  ~P A  -> 
( F  |`  ~P A
)  =  F )
30 foeq1 5651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  |`  ~P A
)  =  F  -> 
( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
317, 28, 29, 304syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
3227, 31mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
33 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
34 f1osng 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F `  A )  e.  _V )  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
354, 33, 34sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
367, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
37 pwidg 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P A )
384, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P A
)
39 fnressn 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  A  e.  ~P A )  ->  ( F  |`  { A }
)  =  { <. A ,  ( F `  A ) >. } )
4036, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )
41 f1oeq1 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. }  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> {
( F `  A
) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4335, 42mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
44 f1ofo 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
46 resdif 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o )  /\  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> {
( F `  A
) } )  -> 
( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
4725, 32, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
48 f1oco 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A  /\  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o )  \  { ( F `
 A ) } ) )  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
4922, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
50 resco 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )
51 f1oeq1 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A ) )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
5349, 52sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
54 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
56 0elpw 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P A
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ~P A
)
58 sdom0 7241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -.  1o  ~< 
(/)
59 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/)  =  A  ->  ( 1o 
~<  (/)  <->  1o  ~<  A ) )
6058, 59mtbii 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  1o  ~<  A )
6160necon2ai 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1o 
~<  A  ->  (/)  =/=  A
)
621, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> 
(/)  =/=  A )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  =/=  A )
64 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  =/=  A ) )
6557, 63, 64sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ( ~P A  \  { A }
) )
66 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ~P A )
67 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  x  =  A )
6867neneqad 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  =/=  A )
69 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  =/=  A
) )
7066, 68, 69sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
7165, 70ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
72 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  =  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )
7371, 72fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )
74 fco 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A  /\  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
7555, 73, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
76 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) : ~P A
--> ( ~P A  \  { A } )  ->  ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) 
C_  ( ~P A  \  { A } ) )
78 cores 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
80 canthp1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
8179, 80syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  H )
8281feq1d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) ) : ~P A --> A 
<->  H : ~P A --> A ) )
8375, 82mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : ~P A --> A )
84 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  dom 
card )  C_  ~P A )
86 canthp1lem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
87 canthp1lem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
U. dom  W
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )
8986, 87, 88canth4 8524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  _V  /\  H : ~P A --> A  /\  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
)  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  C.  B  /\  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) ) )
904, 83, 85, 89syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B  /\  ( H `  B )  =  ( H `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
9190simp1d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9290simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B )
9392pssned 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =/=  B )
9493necomd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )
9590simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
9680fveq1i 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )
9780fveq1i 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
9895, 96, 973eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
99 elpw2g 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P A  <->  B 
C_  A ) )
1004, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P A 
<->  B  C_  A )
)
10191, 100mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P A
)
102 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  B  e.  ~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10373, 101, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10492pssssd 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B )
105104, 91sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  A )
106 elpw2g 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  C_  A )
)
1074, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C_  A ) )
108105, 107mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )
109 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
11073, 108, 109syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
11198, 103, 1103eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
112111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
113 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  B  e.  ~P A )  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  e.  ~P A )
11456, 101, 113sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)
115 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  (
x  =  A  <->  B  =  A ) )
116 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
117115, 116ifbieq2d 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B ) )
118117, 72fvmptg 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  ~P A  /\  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
)  =  if ( B  =  A ,  (/)
,  B ) )
119101, 114, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 B )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
) )
120 pssne 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B 
C.  A  ->  B  =/=  A )
121120neneqd 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B 
C.  A  ->  -.  B  =  A )
122 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B 
C.  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
124119, 123sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B )  =  B )
125124fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
126 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )  ->  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  e.  ~P A )
12756, 108, 126sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )  e. 
~P A )
128 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  ( x  =  A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ) )
129 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  x  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
130128, 129ifbieq2d 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  if (
x  =  A ,  (/)
,  x )  =  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
131130, 72fvmptg 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  /\  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  e.  ~P A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
132108, 127, 131syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
133132adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
134 sspsstr 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
135104, 134sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
136135pssned 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A )
137136neneqd 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A )
138 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =  A  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
140133, 139eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
141140fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )  =  ( ( G  o.  F ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
142112, 125, 1413eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  B )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
143101, 120anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
144 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
145143, 144sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
146 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  B
) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
148108adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )
149 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A ) )
150148, 136, 149sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
151 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
153142, 147, 1523eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
154 f1of1 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } )
-1-1-> A )
15553, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A
)
156155adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A )
157 f1fveq 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A  /\  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
158156, 145, 150, 157syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
159153, 158mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
160159ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  C.  A  ->  B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
161160necon3ad 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  ->  -.  B  C.  A ) )
16294, 161mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  C.  A
)
163 npss 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  B  C.  A  <->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
164162, 163sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
16591, 164mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  A )
166 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  B
167 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W `
 B )  =  ( W `  B
)
168166, 167pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) )
16984sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card )  ->  x  e.  ~P A )
170 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( H : ~P A --> A  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17183, 169, 170syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card ) )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17286, 4, 171, 87fpwwe 8523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( B W ( W `  B
)  /\  ( H `  B )  e.  B
)  <->  ( B  =  B  /\  ( W `
 B )  =  ( W `  B
) ) ) )
173168, 172mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  /\  ( H `  B )  e.  B
) )
174173simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B W ( W `
 B ) )
17586, 4fpwwelem 8522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) ) )
176174, 175mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) )
177176simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( W `  B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `  B
) " { y } ) )  =  y ) )
178177simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  We  B )
179 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W `
 B )  e. 
_V
180 weeq1 4572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( W `  B )  ->  (
r  We  B  <->  ( W `  B )  We  B
) )
181179, 180spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W `  B )  We  B  ->  E. r 
r  We  B )
182178, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. r  r  We  B )
183 ween 7918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  B )
184182, 183sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  card )
185165, 184eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  card )
186 domtri2 7878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  dom  card  /\  A  e.  dom  card )  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
18721, 185, 186sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
188 infcda1 8075 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A
)
189187, 188syl6bir 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  ( A  +c  1o )  ~~  A ) )
190 ensym 7158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
191189, 190syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
19218, 191mt3d 120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<  om )
193 2onn 6885 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
194 nnsdom 7610 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  ~<  om )
195193, 194ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  ~<  om
196 cdafi 8072 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  2o  ~<  om )  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
197192, 195, 196sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
198 isfinite 7609 . . . . . 6  |-  ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  <->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
199197, 198sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  e.  Fin )
200 sssucid 4660 . . . . . . . . . 10  |-  1o  C_  suc  1o
201 df-2o 6727 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
202200, 201sseqtr4i 3383 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  2o
203 xpss1 4986 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  C_  2o  ->  ( 1o  X.  { 1o } ) 
C_  ( 2o  X.  { 1o } ) )
204202, 203ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1o 
X.  { 1o }
)  C_  ( 2o  X.  { 1o } )
205 unss2 3520 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  X.  { 1o } )  C_  ( 2o  X.  { 1o }
)  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
206204, 205mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
207 ssun2 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  { 1o }
)  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )
208 1onn 6884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
209208elexi 2967 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
210209sucid 4662 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
211210, 201eleqtrri 2511 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
212209snid 3843 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  { 1o }
213 opelxpi 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  1o  e.  { 1o }
)  ->  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
214211, 212, 213mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
)
215207, 214sselii 3347 . . . . . . . 8  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
216 1n0 6741 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
217216neii 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  =  (/)
218 opelxp2 4914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  e.  {
(/) } )
219 elsni 3840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  { (/) }  ->  1o  =  (/) )
220218, 219syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  =  (/) )
221217, 220mto 170 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )
222 nnord 4855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  om  ->  Ord  1o )
223 ordirr 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
1o  ->  -.  1o  e.  1o )
224208, 222, 223mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
225 opelxp1 4913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )  ->  1o  e.  1o )
226224, 225mto 170 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )
227221, 226pm3.2ni 829 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/)
} )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } ) )
228 elun 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  <->  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )
229227, 228mtbir 292 . . . . . . . 8  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )
230 ssnelpss 3693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )  /\  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )  -> 
( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
231215, 229, 230mp2ani 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C.  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) ) )
232206, 231syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
233 cdaval 8052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
2344, 208, 233sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
235 cdaval 8052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  2o  e.  om )  -> 
( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
2364, 193, 235sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
237234, 236psseq12d 3443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o )  <->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
238232, 237mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )
239 php3 7295 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  /\  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )  ->  ( A  +c  1o )  ~< 
( A  +c  2o ) )
240199, 238, 239syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o ) )
241 canthp1lem1 8529 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
2421, 241syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
243 sdomdomtr 7242 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o )  /\  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
244240, 242, 243syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
245 sdomnen 7138 . . 3  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~<  ~P A  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
246244, 245syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A
)
24711, 246pm2.65i 168 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   {copab 4267    e. cmpt 4268    We wwe 4542   Ord word 4582   Oncon0 4583   suc csuc 4585   omcom 4847    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883    o. ccom 4884   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1oc1o 6719   2oc2o 6720    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   Fincfn 7111   cardccrd 7824    +c ccda 8049
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050
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