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Theorem canthp1lem2 8291
Description: Lemma for canthp1 8292. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthp1lem2.1  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
canthp1lem2.2  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
canthp1lem2.3  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
canthp1lem2.4  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
canthp1lem2.5  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
canthp1lem2.6  |-  B  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
canthp1lem2  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, r,
y, A    B, r, x, y    H, r, x, y    ph, r, x, y    W, r, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, r)    G( x, y, r)

Proof of Theorem canthp1lem2
StepHypRef Expression
1 canthp1lem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
2 relsdom 6886 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<
32brrelex2i 4746 . . . . . 6  |-  ( 1o 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
41, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
5 pwexg 4210 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  _V )
7 canthp1lem2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
8 f1oeng 6896 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  _V  /\  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
96, 7, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
10 ensym 6926 . . 3  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
12 canth2g 7031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
134, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  ~<  ~P A
)
14 sdomen2 7022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
159, 14syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
1613, 15mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  ~<  ( A  +c  1o ) )
17 sdomnen 6906 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
19 omelon 7363 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
20 onenon 7598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  dom  card
22 canthp1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
23 dff1o3 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  <->  ( F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  /\  Fun  `' F ) )
2423simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  Fun  `' F )
257, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Fun  `' F )
26 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o ) )
277, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
28 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F  Fn  ~P A
)
29 fnresdm 5369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  Fn  ~P A  -> 
( F  |`  ~P A
)  =  F )
307, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ~P A
)  =  F )
31 foeq1 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  |`  ~P A
)  =  F  -> 
( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
3327, 32mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
34 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
35 f1osng 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F `  A )  e.  _V )  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
364, 34, 35sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
377, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
38 pwidg 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P A )
394, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P A
)
40 fnressn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  A  e.  ~P A )  ->  ( F  |`  { A }
)  =  { <. A ,  ( F `  A ) >. } )
4137, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )
42 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. }  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> {
( F `  A
) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4436, 43mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
45 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
47 resdif 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o )  /\  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> {
( F `  A
) } )  -> 
( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
4825, 33, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
49 f1oco 5512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A  /\  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o )  \  { ( F `
 A ) } ) )  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
5022, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
51 resco 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )
52 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
5450, 53sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
55 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
57 0elpw 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P A
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ~P A
)
59 sdom0 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -.  1o  ~< 
(/)
60 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/)  =  A  ->  ( 1o 
~<  (/)  <->  1o  ~<  A ) )
6159, 60mtbii 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  1o  ~<  A )
6261necon2ai 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1o 
~<  A  ->  (/)  =/=  A
)
631, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> 
(/)  =/=  A )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  =/=  A )
65 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  =/=  A ) )
6658, 64, 65sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ( ~P A  \  { A }
) )
67 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ~P A )
68 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  x  =  A )
69 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
7068, 69sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  =/=  A )
71 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  =/=  A
) )
7267, 70, 71sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
7366, 72ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
74 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  =  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )
7573, 74fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )
76 fco 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A  /\  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
7756, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
78 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) : ~P A
--> ( ~P A  \  { A } )  ->  ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } ) )
7975, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) 
C_  ( ~P A  \  { A } ) )
80 cores 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
82 canthp1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
8381, 82syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  H )
8483feq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) ) : ~P A --> A 
<->  H : ~P A --> A ) )
8577, 84mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : ~P A --> A )
86 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
8786a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  dom 
card )  C_  ~P A )
88 canthp1lem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
89 canthp1lem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
U. dom  W
90 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )
9188, 89, 90canth4 8285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  _V  /\  H : ~P A --> A  /\  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
)  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  C.  B  /\  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) ) )
924, 85, 87, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B  /\  ( H `  B )  =  ( H `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
9392simp1d 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9492simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B )
95 pssne 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  B  ->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =/=  B )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =/=  B )
9796necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )
9892simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
9982fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )
10082fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
10198, 99, 1003eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
102 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P A  <->  B 
C_  A ) )
1034, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P A 
<->  B  C_  A )
)
10493, 103mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P A
)
105 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  B  e.  ~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10675, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10794pssssd 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B )
108107, 93sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  A )
109 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  C_  A )
)
1104, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C_  A ) )
111108, 110mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )
112 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
11375, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
114101, 106, 1133eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
116 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  B  e.  ~P A )  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  e.  ~P A )
11757, 104, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)
118 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  (
x  =  A  <->  B  =  A ) )
119 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
120118, 119ifbieq2d 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B ) )
121120, 74fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  ~P A  /\  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
)  =  if ( B  =  A ,  (/)
,  B ) )
122104, 117, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 B )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
) )
123 pssne 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B 
C.  A  ->  B  =/=  A )
124123neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B 
C.  A  ->  -.  B  =  A )
125 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B 
C.  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
127122, 126sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B )  =  B )
128127fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
129 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )  ->  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  e.  ~P A )
13057, 111, 129sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )  e. 
~P A )
131 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  ( x  =  A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ) )
132 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  x  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
133131, 132ifbieq2d 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  if (
x  =  A ,  (/)
,  x )  =  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
134133, 74fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  /\  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  e.  ~P A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
135111, 130, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
136135adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
137 sspsstr 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
138107, 137sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
139 pssne 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A  ->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =/=  A )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A )
141140neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A )
142 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =  A  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
144136, 143eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
145144fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )  =  ( ( G  o.  F ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
146115, 128, 1453eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  B )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
147104, 123anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
148 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
149147, 148sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
150 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  B
) )
151149, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
152111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )
153 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A ) )
154152, 140, 153sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
155 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
157146, 151, 1563eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
158 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } )
-1-1-> A )
15954, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A
)
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A )
161 f1fveq 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A  /\  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
162160, 149, 154, 161syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
163157, 162mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
164163ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  C.  A  ->  B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
165164necon3ad 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  ->  -.  B  C.  A ) )
16697, 165mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  C.  A
)
167 npss 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  B  C.  A  <->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
168166, 167sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
16993, 168mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  A )
170 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  B
171 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W `
 B )  =  ( W `  B
)
172170, 171pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) )
17386sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card )  ->  x  e.  ~P A )
174 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( H : ~P A --> A  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17585, 173, 174syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card ) )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17688, 4, 175, 89fpwwe 8284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( B W ( W `  B
)  /\  ( H `  B )  e.  B
)  <->  ( B  =  B  /\  ( W `
 B )  =  ( W `  B
) ) ) )
177172, 176mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  /\  ( H `  B )  e.  B
) )
178177simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B W ( W `
 B ) )
17988, 4fpwwelem 8283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) ) )
180178, 179mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) )
181180simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( W `  B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `  B
) " { y } ) )  =  y ) )
182181simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  We  B )
183 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W `
 B )  e. 
_V
184 weeq1 4397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( W `  B )  ->  (
r  We  B  <->  ( W `  B )  We  B
) )
185183, 184spcev 2888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W `  B )  We  B  ->  E. r 
r  We  B )
186182, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. r  r  We  B )
187 ween 7678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  B )
188186, 187sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  card )
189169, 188eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  card )
190 domtri2 7638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  dom  card  /\  A  e.  dom  card )  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
19121, 189, 190sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
192 infcda1 7835 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A
)
193191, 192syl6bir 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  ( A  +c  1o )  ~~  A ) )
194 ensym 6926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
195193, 194syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
19618, 195mt3d 117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<  om )
197 2onn 6654 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
198 nnsdom 7370 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  ~<  om )
199197, 198ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  ~<  om
200 cdafi 7832 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  2o  ~<  om )  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
201196, 199, 200sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
202 isfinite 7369 . . . . . 6  |-  ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  <->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
203201, 202sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  e.  Fin )
204 sssucid 4485 . . . . . . . . . 10  |-  1o  C_  suc  1o
205 df-2o 6496 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
206204, 205sseqtr4i 3224 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  2o
207 xpss1 4811 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  C_  2o  ->  ( 1o  X.  { 1o } ) 
C_  ( 2o  X.  { 1o } ) )
208206, 207ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1o 
X.  { 1o }
)  C_  ( 2o  X.  { 1o } )
209 unss2 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  X.  { 1o } )  C_  ( 2o  X.  { 1o }
)  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
210208, 209mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
211 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  { 1o }
)  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )
212 1onn 6653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
213212elexi 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
214213sucid 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
215214, 205eleqtrri 2369 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
216213snid 3680 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  { 1o }
217 opelxpi 4737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  1o  e.  { 1o }
)  ->  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
218215, 216, 217mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
)
219211, 218sselii 3190 . . . . . . . 8  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
220 1n0 6510 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
221 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  <->  -.  1o  =  (/) )
222220, 221mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  =  (/)
223 opelxp2 4739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  e.  {
(/) } )
224 elsni 3677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  { (/) }  ->  1o  =  (/) )
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  =  (/) )
226222, 225mto 167 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )
227 nnord 4680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  om  ->  Ord  1o )
228 ordirr 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
1o  ->  -.  1o  e.  1o )
229212, 227, 228mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
230 opelxp1 4738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )  ->  1o  e.  1o )
231229, 230mto 167 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )
232226, 231pm3.2ni 827 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/)
} )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } ) )
233 elun 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  <->  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )
234232, 233mtbir 290 . . . . . . . 8  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )
235 ssnelpss 3530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )  /\  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )  -> 
( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
236219, 234, 235mp2ani 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C.  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) ) )
237210, 236syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
238 cdaval 7812 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
2394, 212, 238sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
240 cdaval 7812 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  2o  e.  om )  -> 
( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
2414, 197, 240sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
242239, 241psseq12d 3283 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o )  <->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
243237, 242mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )
244 php3 7063 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  /\  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )  ->  ( A  +c  1o )  ~< 
( A  +c  2o ) )
245203, 243, 244syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o ) )
246 canthp1lem1 8290 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
2471, 246syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
248 sdomdomtr 7010 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o )  /\  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
249245, 247, 248syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
250 sdomnen 6906 . . 3  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~<  ~P A  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
251249, 250syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A
)
25211, 251pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879   cardccrd 7584    +c ccda 7809
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810
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