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Theorem canthwelem 8272
Description: Lemma for canthnum 8271. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthwe.1  |-  O  =  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }
canthwe.2  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
canthwe.3  |-  B  = 
U. dom  W
canthwe.4  |-  C  =  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )
Assertion
Ref Expression
canthwelem  |-  ( A  e.  V  ->  -.  F : O -1-1-> A )
Distinct variable groups:    u, r, x, y, B    C, r, x    O, r, u, x, y    V, r, u, x, y    A, r, u, x, y    F, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    C( y, u)

Proof of Theorem canthwelem
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  B  =  B
2 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( W `
 B )  =  ( W `  B
)
31, 2pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) )
4 canthwe.2 . . . . . . . 8  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
5 elex 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  A  e.  _V )
7 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x F r )  =  ( F `  <. x ,  r >. )
8 f1f 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : O -1-1-> A  ->  F : O --> A )
98ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  F : O --> A )
10 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )
)
11 opabid 4271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  r >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }  <->  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )
1210, 11sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  <. x ,  r >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) } )
13 canthwe.1 . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }
1412, 13syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  <. x ,  r >.  e.  O )
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : O --> A  /\  <.
x ,  r >.  e.  O )  ->  ( F `  <. x ,  r >. )  e.  A
)
169, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  r >. )  e.  A )
177, 16syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
18 canthwe.3 . . . . . . . 8  |-  B  = 
U. dom  W
194, 6, 17, 18fpwwe2 8265 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B W ( W `  B )  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B )  <->  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) ) ) )
203, 19mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B W ( W `  B
)  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B ) )
2120simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  B
)
22 canthwe.4 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )
2322, 22xpeq12i 4711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  X.  C )  =  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) )
2423ineq2i 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  =  ( ( W `  B )  i^i  (
( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )  X.  ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } ) ) )
2522, 24oveq12i 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( C F ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  =  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } ) F ( ( W `  B )  i^i  ( ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } ) ) ) )
2620simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B W ( W `  B ) )
274, 6, 26fpwwe2lem3 8255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B )  ->  (
( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } ) F ( ( W `
 B )  i^i  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
2821, 27mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) F ( ( W `  B
)  i^i  ( ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } ) ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
2925, 28syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( C F ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
30 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( C F ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  =  ( F `  <. C ,  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >. )
31 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( B F ( W `  B ) )  =  ( F `  <. B ,  ( W `  B ) >. )
3229, 30, 313eqtr3g 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( F `  <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) >.
)  =  ( F `
 <. B ,  ( W `  B )
>. ) )
33 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  F : O -1-1-> A )
34 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  C_  dom  ( W `  B )
354, 6fpwwe2lem2 8254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B W ( W `  B
)  <->  ( ( B 
C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B
) )  /\  (
( W `  B
)  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
3626, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B 
C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B
) )  /\  (
( W `  B
)  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
3736simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) ) )
3837simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )
39 dmss 4878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W `  B ) 
C_  ( B  X.  B )  ->  dom  ( W `  B ) 
C_  dom  ( B  X.  B ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  dom  ( W `  B )  C_  dom  ( B  X.  B
) )
41 dmxpss 5107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  B )  C_  B
4240, 41syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  dom  ( W `  B )  C_  B
)
4334, 42syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  C_  B )
4422, 43syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  C_  B
)
4537simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B  C_  A
)
4644, 45sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  C_  A
)
47 inss2 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  C_  ( C  X.  C
)
4847a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  C_  ( C  X.  C ) )
4936simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
5049simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  We  B
)
51 wess 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  B  ->  (
( W `  B
)  We  B  -> 
( W `  B
)  We  C ) )
5244, 50, 51sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  We  C
)
53 weinxp 4757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  We  C  <->  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
)
5452, 53sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
)
55 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W `
 B )  e. 
_V
5655cnvex 5209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( W `  B )  e.  _V
57 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( W `  B
)  e.  _V  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } )  e. 
_V )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  e.  _V
5922, 58eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
_V
6055inex1 4155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  e. 
_V
61 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  ->  x  =  C )
6261sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( x  C_  A  <->  C 
C_  A ) )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) )
6461, 61xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( x  X.  x
)  =  ( C  X.  C ) )
6563, 64sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( r  C_  (
x  X.  x )  <-> 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) 
C_  ( C  X.  C ) ) )
66 weeq2 4382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  C  ->  (
r  We  x  <->  r  We  C ) )
67 weeq1 4381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  ->  (
r  We  C  <->  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
) )
6866, 67sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( r  We  x  <->  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) )  We  C ) )
6962, 65, 683anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
)  <->  ( C  C_  A  /\  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  C_  ( C  X.  C )  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  We  C ) ) )
7059, 60, 69opelopaba 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
) }  <->  ( C  C_  A  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  C_  ( C  X.  C
)  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
) )
7146, 48, 54, 70syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) } )
7271, 13syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  O )
73 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  A  e.  V
)
74 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
7545, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B  e.  _V )
7655a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  e.  _V )
77 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  ->  x  =  B )
7877sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( x  C_  A  <->  B 
C_  A ) )
79 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
r  =  ( W `
 B ) )
8077, 77xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( x  X.  x
)  =  ( B  X.  B ) )
8179, 80sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( r  C_  (
x  X.  x )  <-> 
( W `  B
)  C_  ( B  X.  B ) ) )
82 weeq2 4382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
r  We  x  <->  r  We  B ) )
83 weeq1 4381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( W `  B )  ->  (
r  We  B  <->  ( W `  B )  We  B
) )
8482, 83sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( r  We  x  <->  ( W `  B )  We  B ) )
8578, 81, 843anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
)  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B )  /\  ( W `  B )  We  B ) ) )
8685opelopabga 4278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( W `  B )  e.  _V )  -> 
( <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) }  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `
 B )  C_  ( B  X.  B
)  /\  ( W `  B )  We  B
) ) )
8775, 76, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( <. B , 
( W `  B
) >.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) }  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `
 B )  C_  ( B  X.  B
)  /\  ( W `  B )  We  B
) ) )
8845, 38, 50, 87mpbir3and 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) } )
8988, 13syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  O )
90 f1fveq 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : O -1-1-> A  /\  ( <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  O  /\  <. B , 
( W `  B
) >.  e.  O ) )  ->  ( ( F `  <. C , 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )
>. )  =  ( F `  <. B , 
( W `  B
) >. )  <->  <. C , 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )
>.  =  <. B , 
( W `  B
) >. ) )
9133, 72, 89, 90syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( F `
 <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.
)  =  ( F `
 <. B ,  ( W `  B )
>. )  <->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B )
>. ) )
9232, 91mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B )
>. )
9359, 60opth1 4244 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B ) >.  ->  C  =  B )
9492, 93syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  =  B )
9521, 94eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  C
)
9695, 22syl6eleq 2373 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } ) )
97 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( B F ( W `  B ) )  e. 
_V
9897eliniseg 5042 . . . 4  |-  ( ( B F ( W `
 B ) )  e.  B  ->  (
( B F ( W `  B ) )  e.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  <->  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) ) )
9921, 98syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B F ( W `  B ) )  e.  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )  <-> 
( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) ) )
10096, 99mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) ) ( W `
 B ) ( B F ( W `
 B ) ) )
101 weso 4384 . . . 4  |-  ( ( W `  B )  We  B  ->  ( W `  B )  Or  B )
10250, 101syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  Or  B
)
103 sonr 4335 . . 3  |-  ( ( ( W `  B
)  Or  B  /\  ( B F ( W `
 B ) )  e.  B )  ->  -.  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) )
104102, 21, 103syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  -.  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) )
105100, 104pm2.65da 559 1  |-  ( A  e.  V  ->  -.  F : O -1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    Or wor 4313    We wwe 4351    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  canthwe  8273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-riota 6304  df-recs 6388  df-oi 7225
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