MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Unicode version

Theorem cantnff1o 7652
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 7649 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnff1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnff1o.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
Assertion
Ref Expression
cantnff1o  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnff1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnff1o.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 eqid 2436 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
51, 2, 3, 4cantnf 7649 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
6 isof1o 6045 . 2  |-  ( ( A CNF  B )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B ) )
75, 6syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {copab 4265    _E cep 4492   Oncon0 4581   dom cdm 4878   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081    ^o coe 6723   CNF ccnf 7616
This theorem is referenced by:  oef1o  7655  cnfcomlem  7656  cnfcom  7657  cnfcom2lem  7658  cnfcom2  7659  cnfcom3lem  7660  cnfcom3  7661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator