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Theorem cantnfle 7417
 Description: A lower bound on the CNF function. Since CNF is defined as the sum of over all in the support of , it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all instead of just those in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfval.3 OrdIso
cantnfval.4
cantnfval.5 seq𝜔
cantnfle.5
Assertion
Ref Expression
cantnfle CNF
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5908 . . 3
21sseq1d 3239 . 2 CNF CNF
3 cnvimass 5070 . . . . . . . . . . 11
4 cantnfval.4 . . . . . . . . . . . . . 14
5 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
6 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
85, 6, 7cantnfs 7412 . . . . . . . . . . . . . 14
94, 8mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
109simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
11 fdm 5431 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11
133, 12syl5sseq 3260 . . . . . . . . . 10
14 ssexg 4197 . . . . . . . . . 10
1513, 7, 14syl2anc 642 . . . . . . . . 9
16 cantnfval.3 . . . . . . . . . . 11 OrdIso
175, 6, 7, 16, 4cantnfcl 7413 . . . . . . . . . 10
1817simpld 445 . . . . . . . . 9
1916oiiso 7297 . . . . . . . . 9
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . 8
21 isof1o 5864 . . . . . . . 8
2220, 21syl 15 . . . . . . 7
2322adantr 451 . . . . . 6
24 f1ocnv 5523 . . . . . 6
25 f1of 5510 . . . . . 6
2623, 24, 253syl 18 . . . . 5
27 cantnfle.5 . . . . . . 7
2827adantr 451 . . . . . 6
29 simpr 447 . . . . . . 7
30 fvex 5577 . . . . . . . 8
31 dif1o 6541 . . . . . . . 8
3230, 31mpbiran 884 . . . . . . 7
3329, 32sylibr 203 . . . . . 6
3410adantr 451 . . . . . . 7
35 ffn 5427 . . . . . . 7
36 elpreima 5683 . . . . . . 7
3734, 35, 363syl 18 . . . . . 6
3828, 33, 37mpbir2and 888 . . . . 5
39 ffvelrn 5701 . . . . 5
4026, 38, 39syl2anc 642 . . . 4
4117simprd 449 . . . . . 6
4241adantr 451 . . . . 5
43 eqimss 3264 . . . . . . . . . 10
4443biantrurd 494 . . . . . . . . 9
45 eleq2 2377 . . . . . . . . 9
4644, 45bitr3d 246 . . . . . . . 8
47 fveq2 5563 . . . . . . . . 9
4847sseq2d 3240 . . . . . . . 8
4946, 48imbi12d 311 . . . . . . 7
5049imbi2d 307 . . . . . 6
51 sseq1 3233 . . . . . . . . 9
52 eleq2 2377 . . . . . . . . 9
5351, 52anbi12d 691 . . . . . . . 8
54 fveq2 5563 . . . . . . . . 9
5554sseq2d 3240 . . . . . . . 8
5653, 55imbi12d 311 . . . . . . 7
57 sseq1 3233 . . . . . . . . 9
58 eleq2 2377 . . . . . . . . 9
5957, 58anbi12d 691 . . . . . . . 8
60 fveq2 5563 . . . . . . . . 9
6160sseq2d 3240 . . . . . . . 8
6259, 61imbi12d 311 . . . . . . 7
63 sseq1 3233 . . . . . . . . 9
64 eleq2 2377 . . . . . . . . 9
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . . 8
66 fveq2 5563 . . . . . . . . 9
6766sseq2d 3240 . . . . . . . 8
6865, 67imbi12d 311 . . . . . . 7
69 noel 3493 . . . . . . . . . 10
7069pm2.21i 123 . . . . . . . . 9
7170adantl 452 . . . . . . . 8
7271a1i 10 . . . . . . 7
73 fvex 5577 . . . . . . . . . . . 12
7473elsuc 4498 . . . . . . . . . . 11
75 sssucid 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 sstr 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7775, 76mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . 15
8178, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
82 cantnfval.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq𝜔
8382cantnfvalf 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483ffvelrni 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
866ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
877ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8813ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
90 sucidg 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9190ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9289, 91sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9316oif 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9493ffvelrni 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9592, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9688, 95sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 onelon 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9887, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 oecl 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10086, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10110ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103101, 96, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104 onelon 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10586, 103, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 omcl 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107100, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 oaword2 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10985, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1125, 6, 7, 16, 4, 82cantnfsuc 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113110, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114109, 113sseqtr4d 3249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 sstr 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117114, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14
11981, 118syld 40 . . . . . . . . . . . . 13
120119expr 598 . . . . . . . . . . . 12
121 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122121fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123 f1ocnvfv2 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12423, 38, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125124ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126122, 125eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127126oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 oaword1 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131107, 85, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133129, 132eqsstr3d 3247 . . . . . . . . . . . . . . 15
134113adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
135133, 134sseqtr4d 3249 . . . . . . . . . . . . . 14
136135expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
137136a1dd 42 . . . . . . . . . . . 12
138120, 137jaod 369 . . . . . . . . . . 11
13974, 138syl5bi 208 . . . . . . . . . 10
140139expimpd 586 . . . . . . . . 9
141140com23 72 . . . . . . . 8
142141expcom 424 . . . . . . 7
14356, 62, 68, 72, 142finds2 4721 . . . . . 6
14450, 143vtoclga 2883 . . . . 5
14542, 144mpcom 32 . . . 4
14640, 145mpd 14 . . 3
1475, 6, 7, 16, 4, 82cantnfval 7414 . . . 4 CNF
148147adantr 451 . . 3 CNF
149146, 148sseqtr4d 3249 . 2 CNF
150 0ss 3517 . . 3 CNF
151 onelon 4454 . . . . . . 7
1527, 27, 151syl2anc 642 . . . . . 6
153 oecl 6578 . . . . . 6
1546, 152, 153syl2anc 642 . . . . 5
155 om0 6558 . . . . 5
156154, 155syl 15 . . . 4
157156sseq1d 3239 . . 3 CNF CNF
158150, 157mpbiri 224 . 2 CNF
1592, 149, 158pm2.61ne 2554 1 CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  cvv 2822   cdif 3183   wss 3186  c0 3489   cep 4340   wwe 4388  con0 4429   csuc 4431  com 4693  ccnv 4725   cdm 4726  cima 4729   wfn 5287  wf 5288  wf1o 5291  cfv 5292   wiso 5293  (class class class)co 5900   cmpt2 5902  seq𝜔cseqom 6501  c1o 6514   coa 6518   comu 6519   coe 6520  cfn 6906  OrdIsocoi 7269   CNF ccnf 7407 This theorem is referenced by:  cantnflem3  7438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-seqom 6502  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-oexp 6527  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-cnf 7408
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