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Theorem cantnflem1d 7406
Description: Lemma for cantnf 7411. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.5  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
cantnflem1.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnflem1.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem1d  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Distinct variable groups:    k, c, w, x, y, z, B    A, c, k, w, x, y, z    T, c, k    k, F, w, x, y, z    S, c, k, x, y, z    G, c, k, w, x, y, z    x, H, y    k, O, w, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, X, w, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    H( z, w, k, c)    O( c)    X( c)

Proof of Theorem cantnflem1d
StepHypRef Expression
1 cantnfs.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnfs.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
3 cantnfs.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
4 oemapval.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
5 oemapval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 oemapval.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
7 oemapvali.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F T G )
8 oemapvali.6 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 7402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
109simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 onelon 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  On )
122, 10, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
13 oecl 6552 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
141, 12, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
153, 1, 2cantnfs 7383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
166, 15mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
18 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : B --> A  /\  X  e.  B )  ->  ( G `  X
)  e.  A )
1917, 10, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
20 onelon 4433 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
211, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  On )
22 omcl 6551 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
2314, 21, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
24 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
25 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
2617, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
2724, 26syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
28 ssexg 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  _V )
2927, 2, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
30 cantnflem1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
313, 1, 2, 30, 6cantnfcl 7384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  O  e. 
om ) )
3231simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3330oiiso 7268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
3429, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
35 isof1o 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G "
( _V  \  1o ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
37 f1ocnv 5501 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' O :
( `' G "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  O )
38 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
O  ->  `' O : ( `' G " ( _V  \  1o ) ) --> dom  O
)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  O )
403, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1a 7403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
41 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  O  /\  X  e.  ( `' G "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' O `  X )  e.  dom  O )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  dom  O )
4331simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  O  e.  om )
44 elnn 4682 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' O `  X )  e.  dom  O  /\  dom  O  e. 
om )  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
46 cantnflem1.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
4746cantnfvalf 7382 . . . . . 6  |-  H : om
--> On
4847ffvelrni 5680 . . . . 5  |-  ( ( `' O `  X )  e.  om  ->  ( H `  ( `' O `  X )
)  e.  On )
4945, 48syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )
50 oaword1 6566 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On  /\  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) )  C_  (
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5123, 49, 50syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
523, 1, 2, 30, 6, 46cantnfsuc 7387 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' O `  X )  e.  om )  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5345, 52mpdan 649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
54 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5536, 40, 54syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5655oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( A  ^o  X ) )
5755fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( G `  X ) )
5856, 57oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
5958oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
6053, 59eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
6151, 60sseqtr4d 3228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( H `  suc  ( `' O `  X ) ) )
62 onss 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
632, 62syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
6463sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6512adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  On )
66 onsseleq 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X )
) )
6764, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X ) ) )
68 orcom 376 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  \/  x  =  X )  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X )
)
6967, 68syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ) )
7069ifbid 3596 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  =  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
7170mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
7271fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( A CNF  B ) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) ) )
733, 1, 2cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
745, 73mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
7574simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
76 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : B --> A  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  A )
7775, 76sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y )  e.  A )
78 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
7919, 78syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
80 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
811, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
8382adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (/)  e.  A
)
84 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  A  /\  (/) 
e.  A )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
8577, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
86 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8785, 86fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) : B --> A )
8874simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
89 df1o2 6507 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
9089difeq2i 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
9190imaeq2i 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  { (/) } ) )
9290imaeq2i 5026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )
93 eqimss2 3244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9492, 93mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9575, 94suppssr 5675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  (/) )
9695ifeq1d 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
y  e.  X ,  (/)
,  (/) ) )
97 ifid 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( y  e.  X ,  (/)
,  (/) )  =  (/)
9896, 97syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
9998suppss2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
10091, 99syl5eqss 3235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
101 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
10288, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
1033, 1, 2cantnfs 7383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  S  <->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) : B --> A  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) ) )
10487, 102, 103mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  S
)
105 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B --> A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  A )
10675, 10, 105syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  A )
107 eldifn 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  X )  ->  -.  y  e.  X )
108107adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  -.  y  e.  X )
109 iffalse 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  X  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
110108, 109syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  if (
y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) )  =  (/) )
111110suppss2 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  X )
11291, 111syl5eqss 3235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  X
)
113 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
114113adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  X )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 X ) )
115114ifeq1da 3603 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
116 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  X  <->  x  e.  X ) )
117 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
118 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (/)  =  (/) )
119116, 117, 118ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
120 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
121 0ex 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
122120, 121ifex 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  e. 
_V
123119, 86, 122fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
124123ifeq2d 3593 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
125115, 124eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
126 ifor 3618 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
127125, 126syl6reqr 2347 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
128127mpteq2ia 4118 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
1293, 1, 2, 104, 10, 106, 112, 128cantnfp1 7399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) ) )
130129simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
13172, 130eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
132 onelon 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  A )  -> 
( F `  X
)  e.  On )
1331, 106, 132syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  On )
134 omsuc 6541 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
13514, 133, 134syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
136 eloni 4418 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
13721, 136syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  ( G `  X ) )
1389simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
139 ordsucss 4625 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  ( ( F `  X )  e.  ( G `  X
)  ->  suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X ) ) )
140137, 138, 139sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )
)
141 suceloni 4620 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  e.  On  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
142133, 141syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
143 omwordi 6585 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( F `  X )  e.  On  /\  ( G `  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) ) )
144142, 21, 14, 143syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o 
suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
) ) )
145140, 144mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
146135, 145eqsstr3d 3226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  ( A  ^o  X ) ) 
C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
1473, 1, 2, 104, 82, 12, 112cantnflt2 7390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )
148 onelon 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  On )
14914, 147, 148syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On )
150 omcl 6551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
15114, 133, 150syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
152 oaord 6561 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On  /\  (
( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  e.  On )  -> 
( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
153149, 14, 151, 152syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
154147, 153mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
155146, 154sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
156131, 155eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
15761, 156sseldd 3194 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494   Fincfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cantnflem1  7407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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