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Theorem cantnflem3 7639
 Description: Lemma for cantnf 7641. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than has a normal form, we can use oeeu 6838 to factor into the form where and (and a fortiori ). Then since , has a normal form, and by appending the term using cantnfp1 7629 we get a normal form for . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
oemapval.t
cantnf.1
cantnf.2 CNF
cantnf.3
cantnf.4
cantnf.5
cantnf.6
cantnf.7
cantnf.8
cantnf.9 CNF
cantnf.f
Assertion
Ref Expression
cantnflem3 CNF
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem cantnflem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . 5 CNF
2 cantnfs.2 . . . . 5
3 cantnfs.3 . . . . 5
4 cantnf.8 . . . . 5
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . . 14
6 cantnf.1 . . . . . . . . . . . . . 14
7 cantnf.2 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
8 cantnf.3 . . . . . . . . . . . . . 14
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 7638 . . . . . . . . . . . . 13
10 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
1310, 11, 123pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
14 cantnf.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 cantnf.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 cantnf.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 cantnf.7 . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 15, 16, 17oeeui 6837 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 18mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . 13
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2120simpld 446 . . . . . . . . . . 11
2221simp1d 969 . . . . . . . . . 10
23 oecl 6773 . . . . . . . . . 10
242, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2521simp2d 970 . . . . . . . . . . 11
2625eldifad 3324 . . . . . . . . . 10
27 onelon 4598 . . . . . . . . . 10
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9
29 dif1o 6736 . . . . . . . . . . . 12
3029simprbi 451 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
32 on0eln0 4628 . . . . . . . . . . 11
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbird 224 . . . . . . . . 9
35 omword1 6808 . . . . . . . . 9
3624, 28, 34, 35syl21anc 1183 . . . . . . . 8
37 omcl 6772 . . . . . . . . . . 11
3824, 28, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3921simp3d 971 . . . . . . . . . . 11
40 onelon 4598 . . . . . . . . . . 11
4124, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
42 oaword1 6787 . . . . . . . . . 10
4338, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9
4420simprd 450 . . . . . . . . 9
4543, 44sseqtrd 3376 . . . . . . . 8
4636, 45sstrd 3350 . . . . . . 7
47 oecl 6773 . . . . . . . . 9
482, 3, 47syl2anc 643 . . . . . . . 8
49 ontr2 4620 . . . . . . . 8
5024, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . 7
5146, 6, 50mp2and 661 . . . . . 6
529simpld 446 . . . . . . 7
53 oeord 6823 . . . . . . 7
5422, 3, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . 6
5551, 54mpbird 224 . . . . 5
562adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
573adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
58 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . . . . . 15
591, 2, 3cantnfs 7613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
604, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6458, 63syl5sseq 3388 . . . . . . . . . . . . . 14
6564sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13
66 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . 13
6757, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
68 oecl 6773 . . . . . . . . . . . 12
6956, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
7061adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
7170, 65ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . 12
72 onelon 4598 . . . . . . . . . . . 12
7356, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
74 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15
7661, 74, 753syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
7776simplbda 608 . . . . . . . . . . . . 13
78 dif1o 6736 . . . . . . . . . . . . . 14
7978simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
81 on0eln0 4628 . . . . . . . . . . . . 13
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
84 omword1 6808 . . . . . . . . . . 11
8569, 73, 83, 84syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10
86 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso OrdIso
874adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
88 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfle 7618 . . . . . . . . . . 11 CNF
90 cantnf.9 . . . . . . . . . . . 12 CNF
9190adantr 452 . . . . . . . . . . 11 CNF
9289, 91sseqtrd 3376 . . . . . . . . . 10
9385, 92sstrd 3350 . . . . . . . . 9
9439adantr 452 . . . . . . . . 9
9524adantr 452 . . . . . . . . . 10
96 ontr2 4620 . . . . . . . . . 10
9769, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . 9
9893, 94, 97mp2and 661 . . . . . . . 8
9922adantr 452 . . . . . . . . 9
10052adantr 452 . . . . . . . . 9
101 oeord 6823 . . . . . . . . 9
10267, 99, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . . . 8
10398, 102mpbird 224 . . . . . . 7
104103ex 424 . . . . . 6
105104ssrdv 3346 . . . . 5
106 cantnf.f . . . . 5
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1 7629 . . . 4 CNF CNF
108107simprd 450 . . 3 CNF CNF
10990oveq2d 6089 . . 3 CNF
110108, 109, 443eqtrd 2471 . 2 CNF
1111, 2, 3cantnff 7621 . . . 4 CNF
112 ffn 5583 . . . 4 CNF CNF
113111, 112syl 16 . . 3 CNF
114107simpld 446 . . 3
115 fnfvelrn 5859 . . 3 CNF CNF CNF
116113, 114, 115syl2anc 643 . 2 CNF CNF
117110, 116eqeltrrd 2510 1 CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  c0 3620  cif 3731  cop 3809  cuni 4007  cint 4042  copab 4257   cmpt 4258   cep 4484  con0 4573  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873  cio 5408   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  seq𝜔cseqom 6696  c1o 6709  c2o 6710   coa 6713   comu 6714   coe 6715  cfn 7101  OrdIsocoi 7470   CNF ccnf 7608 This theorem is referenced by:  cantnflem4  7640 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-cnf 7609
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