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Theorem cantnflem3 7409
Description: Lemma for cantnf 7411. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than  C has a normal form, we can use oeeu 6617 to factor  C into the form  ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z where  0  <  Y  <  A and  Z  <  ( A  ^o  X ) (and a fortiori  X  < 
B). Then since  Z  <  ( A  ^o  X )  <_ 
( A  ^o  X
)  .o  Y  <_  C,  Z has a normal form, and by appending the term  ( A  ^o  X )  .o  Y using cantnfp1 7399 we get a normal form for 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
cantnf.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
cantnf.2  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
cantnf.3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
cantnf.4  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
cantnf.5  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
cantnf.6  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
cantnf.7  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
cantnf.8  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
cantnf.9  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
cantnf.f  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem3  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Distinct variable groups:    t, c, w, x, y, z, B   
a, b, c, d, w, x, y, z, C    t, a, A, b, c, d, w, x, y, z    T, c, t    w, F, x, y, z    S, c, t, x, y, z   
t, Z, x, y, z    G, c, t, w, x, y, z    ph, t, x, y, z    t, Y, w, x, y, z    X, a, b, d, t, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, a, b, c, d)    B( a, b, d)    C( t)    P( x, y, z, w, t, a, b, c, d)    S( w, a, b, d)    T( x, y, z, w, a, b, d)    F( t, a, b, c, d)    G( a, b, d)    X( c)    Y( a, b, c, d)    Z( w, a, b, c, d)

Proof of Theorem cantnflem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . 5  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnf.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 cantnf.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
7 cantnf.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
8 cantnf.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 7408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) ) )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  X
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  Y
12 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  Z
1310, 11, 123pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z )
14 cantnf.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
15 cantnf.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
16 cantnf.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
17 cantnf.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
1814, 15, 16, 17oeeui 6616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C )  <->  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z ) ) )
1913, 18mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
209, 19syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
2120simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A 
\  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) ) )
2221simp1d 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
23 oecl 6552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
242, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
2521simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A 
\  1o ) )
26 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  ->  Y  e.  A )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  A )
28 onelon 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Y  e.  A )  ->  Y  e.  On )
292, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  On )
30 dif1o 6515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  =/=  (/) ) )
3130simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  ->  Y  =/=  (/) )
3225, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
33 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  On  ->  ( (/) 
e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3429, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3532, 34mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Y )
36 omword1 6587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  e.  On  /\  Y  e.  On )  /\  (/)  e.  Y )  ->  ( A  ^o  X )  C_  (
( A  ^o  X
)  .o  Y ) )
3724, 29, 35, 36syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  Y ) )
38 omcl 6551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3924, 29, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
4021simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
41 onelon 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  Z  e.  On )
4224, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  On )
43 oaword1 6566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On  /\  Z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4439, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4520simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z
)  =  C )
4644, 45sseqtrd 3227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  C )
4737, 46sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  C )
48 oecl 6552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
492, 3, 48syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
50 ontr2 4455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5124, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5247, 6, 51mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  B ) )
539simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  2o ) )
54 oeord 6602 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5522, 3, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5652, 55mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
572adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
583adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  B  e.  On )
59 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
601, 2, 3cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
614, 60mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
6261simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
63 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
6559, 64syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
6665sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  B )
67 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6858, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
69 oecl 6552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
7057, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
7162adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : B
--> A )
72 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : B --> A  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x
)  e.  A )
7371, 66, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  A
)
74 onelon 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  x )  e.  A )  -> 
( G `  x
)  e.  On )
7557, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
76 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
77 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  B  ->  (
x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7862, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7978simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o ) )
80 dif1o 6515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( G `
 x )  e. 
_V  /\  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
8180simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( G `
 x )  =/=  (/) )
8279, 81syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  =/=  (/) )
83 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
8475, 83syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( G `  x )  <-> 
( G `  x
)  =/=  (/) ) )
8582, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  (/)  e.  ( G `  x ) )
86 omword1 6587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  x )  e.  On  /\  ( G `  x
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( G `
 x ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
8770, 75, 85, 86syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
88 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
894adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  e.  S )
90 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
911, 57, 58, 88, 89, 90, 66cantnfle 7388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  (
( A CNF  B ) `
 G ) )
92 cantnf.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  G
)  =  Z )
9491, 93sseqtrd 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  Z
)
9587, 94sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  Z
)
9640adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
9724adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  On )
98 ontr2 4455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  x
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  x )  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9970, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (
( A  ^o  x
)  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  -> 
( A  ^o  x
)  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10095, 96, 99mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) )
10122adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
10253adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
103 oeord 6602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (
x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10468, 101, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
105100, 104mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  X )
106105ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  x  e.  X
) )
107106ssrdv 3198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  X
)
108 cantnf.f . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
1091, 2, 3, 4, 56, 27, 107, 108cantnfp1 7399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) ) )
110109simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) )
11192oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  (
( A CNF  B ) `
 G ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z ) )
112110, 111, 453eqtrd 2332 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  C )
1131, 2, 3cantnff 7391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
114 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
115113, 114syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B )  Fn  S )
116109simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
117 fnfvelrn 5678 . . 3  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  F  e.  S )  ->  (
( A CNF  B ) `
 F )  e. 
ran  ( A CNF  B
) )
118115, 116, 117syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  e.  ran  ( A CNF  B
) )
119112, 118eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   <.cop 3656   U.cuni 3843   |^|cint 3878   {copab 4092    e. cmpt 4093    _E cep 4319   Oncon0 4408   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   iotacio 5233    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488   2oc2o 6489    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494   Fincfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cantnflem4  7410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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