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Theorem cantnflem3 7580
Description: Lemma for cantnf 7582. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than  C has a normal form, we can use oeeu 6782 to factor  C into the form  ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z where  0  <  Y  <  A and  Z  <  ( A  ^o  X ) (and a fortiori  X  < 
B). Then since  Z  <  ( A  ^o  X )  <_ 
( A  ^o  X
)  .o  Y  <_  C,  Z has a normal form, and by appending the term  ( A  ^o  X )  .o  Y using cantnfp1 7570 we get a normal form for 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
cantnf.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
cantnf.2  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
cantnf.3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
cantnf.4  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
cantnf.5  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
cantnf.6  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
cantnf.7  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
cantnf.8  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
cantnf.9  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
cantnf.f  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem3  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Distinct variable groups:    t, c, w, x, y, z, B   
a, b, c, d, w, x, y, z, C    t, a, A, b, c, d, w, x, y, z    T, c, t    w, F, x, y, z    S, c, t, x, y, z   
t, Z, x, y, z    G, c, t, w, x, y, z    ph, t, x, y, z    t, Y, w, x, y, z    X, a, b, d, t, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, a, b, c, d)    B( a, b, d)    C( t)    P( x, y, z, w, t, a, b, c, d)    S( w, a, b, d)    T( x, y, z, w, a, b, d)    F( t, a, b, c, d)    G( a, b, d)    X( c)    Y( a, b, c, d)    Z( w, a, b, c, d)

Proof of Theorem cantnflem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . 5  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnf.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 cantnf.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
7 cantnf.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
8 cantnf.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 7579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) ) )
10 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  X
11 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  Y
12 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  Z
1310, 11, 123pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z )
14 cantnf.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
15 cantnf.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
16 cantnf.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
17 cantnf.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
1814, 15, 16, 17oeeui 6781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C )  <->  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z ) ) )
1913, 18mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
2120simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A 
\  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) ) )
2221simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
23 oecl 6717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
242, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
2521simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A 
\  1o ) )
2625eldifad 3275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  A )
27 onelon 4547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Y  e.  A )  ->  Y  e.  On )
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  On )
29 dif1o 6680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  =/=  (/) ) )
3029simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  ->  Y  =/=  (/) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
32 on0eln0 4577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  On  ->  ( (/) 
e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3431, 33mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Y )
35 omword1 6752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  e.  On  /\  Y  e.  On )  /\  (/)  e.  Y )  ->  ( A  ^o  X )  C_  (
( A  ^o  X
)  .o  Y ) )
3624, 28, 34, 35syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  Y ) )
37 omcl 6716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3824, 28, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3921simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
40 onelon 4547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  Z  e.  On )
4124, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  On )
42 oaword1 6731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On  /\  Z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4338, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4420simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z
)  =  C )
4543, 44sseqtrd 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  C )
4636, 45sstrd 3301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  C )
47 oecl 6717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
482, 3, 47syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
49 ontr2 4569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5024, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5146, 6, 50mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  B ) )
529simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  2o ) )
53 oeord 6767 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5422, 3, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5551, 54mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
562adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
573adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  B  e.  On )
58 cnvimass 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
591, 2, 3cantnfs 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
604, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
6160simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
62 fdm 5535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
6458, 63syl5sseq 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
6564sselda 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  B )
66 onelon 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6757, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
68 oecl 6717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
6956, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
7061adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : B
--> A )
7170, 65ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  A
)
72 onelon 4547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  x )  e.  A )  -> 
( G `  x
)  e.  On )
7356, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
74 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
75 elpreima 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  B  ->  (
x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7661, 74, 753syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7776simplbda 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o ) )
78 dif1o 6680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( G `
 x )  e. 
_V  /\  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
7978simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( G `
 x )  =/=  (/) )
8077, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  =/=  (/) )
81 on0eln0 4577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( G `  x )  <-> 
( G `  x
)  =/=  (/) ) )
8380, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  (/)  e.  ( G `  x ) )
84 omword1 6752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  x )  e.  On  /\  ( G `  x
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( G `
 x ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
8569, 73, 83, 84syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
86 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
874adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  e.  S )
88 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfle 7559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  (
( A CNF  B ) `
 G ) )
90 cantnf.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  G
)  =  Z )
9289, 91sseqtrd 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  Z
)
9385, 92sstrd 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  Z
)
9439adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
9524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  On )
96 ontr2 4569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  x
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  x )  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9769, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (
( A  ^o  x
)  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  -> 
( A  ^o  x
)  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9893, 94, 97mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) )
9922adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
10052adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
101 oeord 6767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (
x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10267, 99, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10398, 102mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  X )
104103ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  x  e.  X
) )
105104ssrdv 3297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  X
)
106 cantnf.f . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1 7570 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) ) )
108107simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) )
10990oveq2d 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  (
( A CNF  B ) `
 G ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z ) )
110108, 109, 443eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  C )
1111, 2, 3cantnff 7562 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
112 ffn 5531 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
113111, 112syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B )  Fn  S )
114107simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
115 fnfvelrn 5806 . . 3  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  F  e.  S )  ->  (
( A CNF  B ) `
 F )  e. 
ran  ( A CNF  B
) )
116113, 114, 115syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  e.  ran  ( A CNF  B
) )
117110, 116eqeltrrd 2462 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   <.cop 3760   U.cuni 3957   |^|cint 3992   {copab 4206    e. cmpt 4207    _E cep 4433   Oncon0 4522   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819   "cima 4821   iotacio 5356    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   1stc1st 6286   2ndc2nd 6287  seq𝜔cseqom 6640   1oc1o 6653   2oc2o 6654    +o coa 6657    .o comu 6658    ^o coe 6659   Fincfn 7045  OrdIsocoi 7411   CNF ccnf 7549
This theorem is referenced by:  cantnflem4  7581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-seqom 6641  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-oexp 6666  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-cnf 7550
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