Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem4 Unicode version

Theorem cantnflem4 7410
 Description: Lemma for cantnf 7411. Complete the induction step of cantnflem3 7409. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
oemapval.t
cantnf.1
cantnf.2 CNF
cantnf.3
cantnf.4
cantnf.5
cantnf.6
cantnf.7
Assertion
Ref Expression
cantnflem4 CNF
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,)   ()   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem cantnflem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnf.2 . . . 4 CNF
2 cantnfs.2 . . . . . . . . 9
3 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . 13 CNF
4 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . 13
6 cantnf.1 . . . . . . . . . . . . 13
7 cantnf.3 . . . . . . . . . . . . 13
83, 2, 4, 5, 6, 1, 7cantnflem2 7408 . . . . . . . . . . . 12
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
129, 10, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . 13
13 cantnf.4 . . . . . . . . . . . . . 14
14 cantnf.5 . . . . . . . . . . . . . 14
15 cantnf.6 . . . . . . . . . . . . . 14
16 cantnf.7 . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 14, 15, 16oeeui 6616 . . . . . . . . . . . . 13
1812, 17mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12
198, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11
2019simpld 445 . . . . . . . . . 10
2120simp1d 967 . . . . . . . . 9
22 oecl 6552 . . . . . . . . 9
232, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8
2420simp2d 968 . . . . . . . . . 10
25 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9
27 onelon 4433 . . . . . . . . 9
282, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . 8
29 omcl 6551 . . . . . . . 8
3023, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7
3120simp3d 969 . . . . . . . 8
32 onelon 4433 . . . . . . . 8
3323, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . 7
34 oaword1 6566 . . . . . . 7
3530, 33, 34syl2anc 642 . . . . . 6
36 dif1o 6515 . . . . . . . . . . 11
3736simprbi 450 . . . . . . . . . 10
3824, 37syl 15 . . . . . . . . 9
39 on0eln0 4463 . . . . . . . . . 10
4028, 39syl 15 . . . . . . . . 9
4138, 40mpbird 223 . . . . . . . 8
42 omword1 6587 . . . . . . . 8
4323, 28, 41, 42syl21anc 1181 . . . . . . 7
4443, 31sseldd 3194 . . . . . 6
4535, 44sseldd 3194 . . . . 5
4619simprd 449 . . . . 5
4745, 46eleqtrd 2372 . . . 4
481, 47sseldd 3194 . . 3 CNF
493, 2, 4cantnff 7391 . . . 4 CNF
50 ffn 5405 . . . 4 CNF CNF
51 fvelrnb 5586 . . . 4 CNF CNF CNF
5249, 50, 513syl 18 . . 3 CNF CNF
5348, 52mpbid 201 . 2 CNF
542adantr 451 . . . . 5 CNF
554adantr 451 . . . . 5 CNF
566adantr 451 . . . . 5 CNF
571adantr 451 . . . . 5 CNF CNF
587adantr 451 . . . . 5 CNF
59 simprl 732 . . . . 5 CNF
60 simprr 733 . . . . 5 CNF CNF
61 eqid 2296 . . . . 5
623, 54, 55, 5, 56, 57, 58, 13, 14, 15, 16, 59, 60, 61cantnflem3 7409 . . . 4 CNF CNF
6362expr 598 . . 3 CNF CNF
6463rexlimdva 2680 . 2 CNF CNF
6553, 64mpd 14 1 CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  cif 3578  cop 3656  cuni 3843  cint 3878  copab 4092   cmpt 4093  con0 4408   cdm 4705   crn 4706  cio 5233   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136  c2nd 6137  c1o 6488  c2o 6489   coa 6492   comu 6493   coe 6494   CNF ccnf 7378 This theorem is referenced by:  cantnf  7411 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
 Copyright terms: Public domain W3C validator