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Theorem cantnflt 7389
Description: An upper bound on the partial sums of the CNF function. Since each term dominates all previous terms, by induction we can bound the whole sum with any exponent  A  ^o  C where  C is larger than any exponent  ( G `  x ) ,  x  e.  K which has been summed so far. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfval.3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnfval.4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
cantnflt.a  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnflt.1  |-  ( ph  ->  K  e.  suc  dom  G )
cantnflt.2  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
cantnflt.3  |-  ( ph  ->  ( G " K
)  C_  C )
Assertion
Ref Expression
cantnflt  |-  ( ph  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    z, C    A, k,
z    k, F, z    S, k, z    k, G, z   
k, K, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    C( k)    H( z, k)

Proof of Theorem cantnflt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnflt.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 cantnflt.a . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
4 oen0 6600 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )
51, 2, 3, 4syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  C ) )
6 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( K  =  (/)  ->  ( H `
 K )  =  ( H `  (/) ) )
7 0ex 4166 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 cantnfval.5 . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
98seqom0g 6484 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
107, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
116, 10syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( K  =  (/)  ->  ( H `
 K )  =  (/) )
1211eleq1d 2362 . . 3  |-  ( K  =  (/)  ->  ( ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
135, 12syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  (/)  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
142adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  C  e.  On )
15 eloni 4418 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  Ord  C )
17 cantnflt.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G " K
)  C_  C )
1817adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G " K )  C_  C
)
19 cantnfval.3 . . . . . . . . . . 11  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2019oif 7261 . . . . . . . . . 10  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
21 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : dom  G --> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  G  Fn  dom  G )
2220, 21mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  G  Fn  dom  G )
23 cantnflt.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  suc  dom  G )
2419oicl 7260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  dom  G
25 ordsuc 4621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  G  <->  Ord  suc  dom  G )
2624, 25mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  suc  dom 
G
27 ordelon 4432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  suc  dom  G  /\  K  e.  suc  dom  G
)  ->  K  e.  On )
2826, 23, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  On )
29 ordsssuc 4495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  On  /\  Ord  dom  G )  -> 
( K  C_  dom  G  <-> 
K  e.  suc  dom  G ) )
3028, 24, 29sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  C_  dom  G  <-> 
K  e.  suc  dom  G ) )
3123, 30mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  C_  dom  G )
3231adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  C_  dom  G )
33 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
3433sucid 4487 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
suc  x
35 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  =  suc  x )
3634, 35syl5eleqr 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  K
)
37 fnfvima 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  K  C_  dom  G  /\  x  e.  K
)  ->  ( G `  x )  e.  ( G " K ) )
3822, 32, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( G " K ) )
3918, 38sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
40 ordsucss 4625 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  suc  ( G `  x )  C_  C ) )
4116, 39, 40sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  ( G `  x )  C_  C
)
42 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
43 cantnfval.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
44 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
45 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4644, 1, 45cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
4847simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
49 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B --> A  ->  dom  F  =  B )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
5142, 50syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
52 onss 4598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
5345, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
5451, 53sstrd 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
5554adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
5623adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  e.  suc  dom 
G )
5735, 56eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  x  e.  suc  dom  G )
58 ordsucelsuc 4629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
dom  G  ->  ( x  e.  dom  G  <->  suc  x  e. 
suc  dom  G ) )
5924, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  G  <->  suc  x  e. 
suc  dom  G )
6057, 59sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  dom  G )
6120ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  G  -> 
( G `  x
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6355, 62sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
64 suceloni 4620 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  suc  ( G `  x )  e.  On )
6563, 64syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  ( G `  x )  e.  On )
661adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  A  e.  On )
673adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  (/)  e.  A )
68 oewordi 6605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( suc  ( G `
 x )  e.  On  /\  C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( suc  ( G `  x ) 
C_  C  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) ) 
C_  ( A  ^o  C ) ) )
6965, 14, 66, 67, 68syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( suc  ( G `  x )  C_  C  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) )  C_  ( A  ^o  C ) ) )
7041, 69mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  x
) )  C_  ( A  ^o  C ) )
7135fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  =  ( H `  suc  x
) )
72 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  om )
73 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ph )
74 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  (/)  e.  dom  G ) )
75 suceq 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
7675fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( H `
 suc  x )  =  ( H `  suc  (/) ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G `
 x )  =  ( G `  (/) ) )
78 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  (/) )  ->  suc  ( G `
 x )  =  suc  ( G `  (/) ) )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `  (/) ) )
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) )
8176, 80eleq12d 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( H `  suc  x
)  e.  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  <-> 
( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `
 (/) ) ) ) )
8274, 81imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )  <->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) ) ) )
83 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  G  <->  y  e.  dom  G ) )
84 suceq 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
8584fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  suc  x )  =  ( H `  suc  y ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
87 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 y ) )
8886, 87syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 y ) )
8988oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) ) )
9085, 89eleq12d 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
)  <->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )
9183, 90imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )  <->  ( y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) ) ) ) )
92 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  G  <->  suc  y  e.  dom  G ) )
93 suceq 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
9493fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( H `  suc  x )  =  ( H `  suc  suc  y ) )
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 suc  y )
)
96 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  suc  y )  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 suc  y )
)
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  ( G `  x
)  =  suc  ( G `  suc  y ) )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `
 suc  y )
) )
9994, 98eleq12d 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
)  <->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) )
10092, 99imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  G  ->  ( H `
 suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) ) )  <->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
101 peano1 4691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  om
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  (/)  e.  om )
10344, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 7387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  om )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) ) )
104102, 103sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) ) )
10510oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )
1061adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  A  e.  On )
10720ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
10854sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( G `  (/) )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
109107, 108sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
110 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )
111106, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )
11248adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  F : B
--> A )
11351sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( G `  (/) )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  (/) )  e.  B
)
114107, 113sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  B
)
115 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : B --> A  /\  ( G `  (/) )  e.  B )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A )
116112, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A )
117 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 (/) ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )
118106, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )
119 omcl 6551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )  ->  (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On )
120111, 118, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On )
121 oa0 6531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On  ->  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
123105, 122syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
124104, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
1253adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  A
)
126 oen0 6600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
127106, 109, 125, 126syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
128 omord2 6581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `  (/) ) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A  <->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) ) )
129118, 106, 111, 127, 128syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A  <->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) ) )
130116, 129mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) )
131 oesuc 6542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A ) )
132106, 109, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A ) )
133130, 132eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) )
134124, 133eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) )
135134ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) ) )
136 ordtr 4422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  G  ->  Tr  dom  G )
13724, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  dom  G
138 trsuc 4492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
139137, 138mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  y  e.  dom  G
)
140139imim1i 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )
1411ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  A  e.  On )
142 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  Ord  A )
14448ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  F : B --> A )
14551ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
14620ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
147146ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
148145, 147sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  B
)
149 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : B --> A  /\  ( G `  suc  y
)  e.  B )  ->  ( F `  ( G `  suc  y
) )  e.  A
)
150144, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  A )
151 ordsucss 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  A  ->  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  C_  A )
)
152143, 150, 151sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  C_  A )
153 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  suc  y
) )  e.  On )
154141, 150, 153syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
155 suceloni 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
15754ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
158157, 147sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  On )
159 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  suc  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  e.  On )
160141, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
161 omwordi 6585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( suc  ( F `  ( G `  suc  y
) )  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On )  ->  ( suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) 
C_  A  ->  (
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  C_  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) ) )
162156, 141, 160, 161syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  C_  A  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o 
suc  ( F `  ( G `  suc  y
) ) )  C_  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  A
) ) )
163152, 162mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  C_  (
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) )
164 oesuc 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  suc  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  A
) )
165141, 158, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) )
166163, 165sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  C_  ( A  ^o  suc  ( G `
 suc  y )
) )
167 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
16844, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  suc  y  e. 
om )  ->  ( H `  suc  suc  y
)  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) ) )
169167, 168sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( H `  suc  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) ) )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `
 suc  y )
) )
171 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
172158, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
173 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
174173sucid 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  y  e. 
suc  y
175173sucex 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  y  e.  _V
176175epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  _E  suc  y  <->  y  e.  suc  y )
177174, 176mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  _E 
suc  y
178 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  _V )
17951, 45, 178syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
18044, 1, 45, 19, 43cantnfcl 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
181180simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
18219oiiso 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
183179, 181, 182syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
184183ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
185139ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
y  e.  dom  G
)
186 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  y  e.  dom  G )
187 isorel 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
188184, 185, 186, 187syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( y  _E  suc  y 
<->  ( G `  y
)  _E  ( G `
 suc  y )
) )
189177, 188mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  _E  ( G `
 suc  y )
)
190 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G `
 suc  y )  e.  _V
191190epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y
) )
192189, 191sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )
)
193 ordsucss 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  ( G `  suc  y )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )  ->  suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) ) )
194172, 192, 193sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( G `  y
)  C_  ( G `  suc  y ) )
19520ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
196185, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
197157, 196sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  On )
198 suceloni 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  y )  e.  On  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( G `  y
)  e.  On )
2003ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  (/) 
e.  A )
201 oewordi 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( suc  ( G `
 y )  e.  On  /\  ( G `
 suc  y )  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( suc  ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
202199, 158, 141, 200, 201syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) )  C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
203194, 202mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  y ) )  C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) )
204 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )
205203, 204sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
) )
206167ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  y  e.  om )
2078cantnfvalf 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  H : om
--> On
208207ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( H `  suc  y
)  e.  On )
209206, 208syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  On )
210 omcl 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )
211160, 154, 210syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )
212 oaord 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( H `  suc  y )  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )  ->  ( ( H `
 suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
213209, 160, 211, 212syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  <->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
214205, 213mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
215170, 214eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
216 omsuc 6541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o 
suc  ( F `  ( G `  suc  y
) ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
217160, 154, 216syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
218215, 217eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) )
219166, 218sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) ) )
220219exp32 588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
)  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
221220a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
222140, 221syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( (
y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
223222expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( y  e.  dom  G  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) ) )
22482, 91, 100, 135, 223finds2 4700 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  ( ph  ->  ( x  e. 
dom  G  ->  ( H `
 suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) ) ) ) )
22572, 73, 60, 224syl3c 57 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )
22671, 225eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )
22770, 226sseldd 3194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C ) )
228227expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( K  =  suc  x  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C
) ) )
229228rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
om  K  =  suc  x  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C ) ) )
230180simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
231 peano2 4692 . . . . 5  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  suc 
dom  G  e.  om )
232230, 231syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  suc  dom  G  e.  om )
233 elnn 4682 . . . 4  |-  ( ( K  e.  suc  dom  G  /\  suc  dom  G  e.  om )  ->  K  e.  om )
23423, 232, 233syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
235 nn0suc 4696 . . 3  |-  ( K  e.  om  ->  ( K  =  (/)  \/  E. x  e.  om  K  =  suc  x ) )
236234, 235syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  K  =  suc  x ) )
23713, 229, 236mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   Tr wtr 4129    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494   Fincfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cantnflt2  7390  cnfcomlem  7418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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