Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Unicode version

Theorem cantnfp1 7428
 Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfp1.4
cantnfp1.5
cantnfp1.6
cantnfp1.7
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1 CNF CNF
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6
2 eqeq1 2322 . . . . . . . 8
3 eqeq1 2322 . . . . . . . 8
4 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13
5 cantnfp1.5 . . . . . . . . . . . . 13
6 onelon 4454 . . . . . . . . . . . . 13
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
8 eloni 4439 . . . . . . . . . . . 12
9 ordirr 4447 . . . . . . . . . . . 12
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11
11 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . 14
12 dif1o 6541 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12mpbiran 884 . . . . . . . . . . . . 13
14 cantnfp1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF
16 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1715, 16, 4cantnfs 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1814, 17mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 elpreima 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 cantnfp1.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423sseld 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . 14
265, 25mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13
2713, 26syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12
2827necon1bd 2547 . . . . . . . . . . 11
2910, 28mpd 14 . . . . . . . . . 10
3029ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9
31 simpr 447 . . . . . . . . . 10
3231fveq2d 5567 . . . . . . . . 9
33 simpllr 735 . . . . . . . . 9
3430, 32, 333eqtr4rd 2359 . . . . . . . 8
35 eqidd 2317 . . . . . . . 8
362, 3, 34, 35ifbothda 3629 . . . . . . 7
3736mpteq2dva 4143 . . . . . 6
381, 37syl5eq 2360 . . . . 5
3919feqmptd 5613 . . . . . 6
4039adantr 451 . . . . 5
4138, 40eqtr4d 2351 . . . 4
4214adantr 451 . . . 4
4341, 42eqeltrd 2390 . . 3
44 oecl 6578 . . . . . . . 8
4516, 4, 44syl2anc 642 . . . . . . 7
4615, 16, 4cantnff 7420 . . . . . . . 8 CNF
47 ffvelrn 5701 . . . . . . . 8 CNF CNF
4846, 14, 47syl2anc 642 . . . . . . 7 CNF
49 onelon 4454 . . . . . . 7 CNF CNF
5045, 48, 49syl2anc 642 . . . . . 6 CNF
5150adantr 451 . . . . 5 CNF
52 oa0r 6579 . . . . 5 CNF CNF CNF
5351, 52syl 15 . . . 4 CNF CNF
54 oveq2 5908 . . . . . 6
55 oecl 6578 . . . . . . . 8
5616, 7, 55syl2anc 642 . . . . . . 7
57 om0 6558 . . . . . . 7
5856, 57syl 15 . . . . . 6
5954, 58sylan9eqr 2370 . . . . 5
6059oveq1d 5915 . . . 4 CNF CNF
6141fveq2d 5567 . . . 4 CNF CNF
6253, 60, 613eqtr4rd 2359 . . 3 CNF CNF
6343, 62jca 518 . 2 CNF CNF
6416adantr 451 . . . 4
654adantr 451 . . . 4
6614adantr 451 . . . 4
675adantr 451 . . . 4
68 cantnfp1.6 . . . . 5
6968adantr 451 . . . 4
7023adantr 451 . . . 4
7115, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 1cantnfp1lem1 7425 . . 3
72 onelon 4454 . . . . . . 7
7316, 68, 72syl2anc 642 . . . . . 6
74 on0eln0 4484 . . . . . 6
7573, 74syl 15 . . . . 5
7675biimpar 471 . . . 4
77 eqid 2316 . . . 4 OrdIso OrdIso
78 eqid 2316 . . . 4 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
79 eqid 2316 . . . 4 OrdIso OrdIso
80 eqid 2316 . . . 4 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
8115, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 1, 76, 77, 78, 79, 80cantnfp1lem3 7427 . . 3 CNF CNF
8271, 81jca 518 . 2 CNF CNF
8363, 82pm2.61dane 2557 1 CNF CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  cvv 2822   cdif 3183   wss 3186  c0 3489  cif 3599   cmpt 4114   cep 4340   word 4428  con0 4429  ccnv 4725   cdm 4726  cima 4729   wfn 5287  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900   cmpt2 5902  seq𝜔cseqom 6501  c1o 6514   coa 6518   comu 6519   coe 6520  cfn 6906  OrdIsocoi 7269   CNF ccnf 7407 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  7435  cantnflem1  7436  cantnflem3  7438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-seqom 6502  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-oexp 6527  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-cnf 7408
 Copyright terms: Public domain W3C validator