Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Structured version   Unicode version

Theorem cantnfp1 7639
 Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfp1.4
cantnfp1.5
cantnfp1.6
cantnfp1.7
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1 CNF CNF
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6
2 eqeq1 2444 . . . . . . . 8
3 eqeq1 2444 . . . . . . . 8
4 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13
5 cantnfp1.5 . . . . . . . . . . . . 13
6 onelon 4608 . . . . . . . . . . . . 13
74, 5, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
8 eloni 4593 . . . . . . . . . . . 12
9 ordirr 4601 . . . . . . . . . . . 12
107, 8, 93syl 19 . . . . . . . . . . 11
11 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . 14
12 dif1o 6746 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12mpbiran 886 . . . . . . . . . . . . 13
14 cantnfp1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF
16 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1715, 16, 4cantnfs 7623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1814, 17mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 cantnfp1.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . 14
265, 25mpand 658 . . . . . . . . . . . . 13
2713, 26syl5bir 211 . . . . . . . . . . . 12
2827necon1bd 2674 . . . . . . . . . . 11
2910, 28mpd 15 . . . . . . . . . 10
3029ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9
31 simpr 449 . . . . . . . . . 10
3231fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
33 simpllr 737 . . . . . . . . 9
3430, 32, 333eqtr4rd 2481 . . . . . . . 8
35 eqidd 2439 . . . . . . . 8
362, 3, 34, 35ifbothda 3771 . . . . . . 7
3736mpteq2dva 4297 . . . . . 6
381, 37syl5eq 2482 . . . . 5
3919feqmptd 5781 . . . . . 6
4039adantr 453 . . . . 5
4138, 40eqtr4d 2473 . . . 4
4214adantr 453 . . . 4
4341, 42eqeltrd 2512 . . 3
44 oecl 6783 . . . . . . . 8
4516, 4, 44syl2anc 644 . . . . . . 7
4615, 16, 4cantnff 7631 . . . . . . . 8 CNF
4746, 14ffvelrnd 5873 . . . . . . 7 CNF
48 onelon 4608 . . . . . . 7 CNF CNF
4945, 47, 48syl2anc 644 . . . . . 6 CNF
5049adantr 453 . . . . 5 CNF
51 oa0r 6784 . . . . 5 CNF CNF CNF
5250, 51syl 16 . . . 4 CNF CNF
53 oveq2 6091 . . . . . 6
54 oecl 6783 . . . . . . . 8
5516, 7, 54syl2anc 644 . . . . . . 7
56 om0 6763 . . . . . . 7
5755, 56syl 16 . . . . . 6
5853, 57sylan9eqr 2492 . . . . 5
5958oveq1d 6098 . . . 4 CNF CNF
6041fveq2d 5734 . . . 4 CNF CNF
6152, 59, 603eqtr4rd 2481 . . 3 CNF CNF
6243, 61jca 520 . 2 CNF CNF
6316adantr 453 . . . 4
644adantr 453 . . . 4
6514adantr 453 . . . 4
665adantr 453 . . . 4
67 cantnfp1.6 . . . . 5
6867adantr 453 . . . 4
6923adantr 453 . . . 4
7015, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1cantnfp1lem1 7636 . . 3
71 onelon 4608 . . . . . . 7
7216, 67, 71syl2anc 644 . . . . . 6
73 on0eln0 4638 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
7574biimpar 473 . . . 4
76 eqid 2438 . . . 4 OrdIso OrdIso
77 eqid 2438 . . . 4 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
78 eqid 2438 . . . 4 OrdIso OrdIso
79 eqid 2438 . . . 4 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
8015, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1, 75, 76, 77, 78, 79cantnfp1lem3 7638 . . 3 CNF CNF
8170, 80jca 520 . 2 CNF CNF
8262, 81pm2.61dane 2684 1 CNF CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  cif 3741   cmpt 4268   cep 4494   word 4582  con0 4583  ccnv 4879   cdm 4880  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  seq𝜔cseqom 6706  c1o 6719   coa 6723   comu 6724   coe 6725  cfn 7111  OrdIsocoi 7480   CNF ccnf 7618 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  7646  cantnflem1  7647  cantnflem3  7649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-cnf 7619
 Copyright terms: Public domain W3C validator