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Theorem cantnfres 7633
Description: The CNF function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfres.5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
cantnfres.6  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
cantnfres.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
cantnfres.8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnfres.9  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
cantnfres.10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
cantnfres  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    D, n    A, n    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    X( n)

Proof of Theorem cantnfres
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfres.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
5 cantnfres.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
6 cantnfres.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfreslem 7631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
8 oieq2 7482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) )
109fveq1d 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
11103ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
1211oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
13 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
1413mptpreima 5363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }
15 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }  C_  B
1614, 15eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) 
C_  B
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
1817oif 7499 . . . . . . . . . . . . 13  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) : dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) --> ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) )
1918ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
2016, 19sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
21203ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
22 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  B  C_  D )
25 resmpt 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  D  ->  (
( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2726fveq1d 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2811fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2923, 27, 283eqtr3d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
3012, 29oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) ) )
3130oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
)  =  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) )
3231mpt2eq3dva 6138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
339dmeqd 5072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) )
34 eqid 2436 . . . . . 6  |-  On  =  On
35 mpt2eq12 6134 . . . . . 6  |-  ( ( dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  /\  On  =  On )  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3633, 34, 35sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3732, 36eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
38 eqid 2436 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
39 seqomeq12 6711 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔
( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  -> seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) )
4140, 33fveq12d 5734 . 2  |-  ( ph  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
42 cantnfres.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
43 eqid 2436 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
441, 2, 3, 17, 42, 43cantnfval2 7624 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
45 cantnfres.9 . . 3  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
46 eqid 2436 . . 3  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
47 cantnfres.8 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 47, 45cantnfrescl 7632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
4942, 48mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T
)
50 eqid 2436 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
5145, 2, 4, 46, 49, 50cantnfval2 7624 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  D
) `  ( n  e.  D  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
5241, 44, 513eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628    e. cmpt 4266    _E cep 4492   Oncon0 4581   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083  seq𝜔cseqom 6704   1oc1o 6717    +o coa 6721    .o comu 6722    ^o coe 6723  OrdIsocoi 7478   CNF ccnf 7616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
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