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Theorem cantnfres 7379
Description: The CNF function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfres.5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
cantnfres.6  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
cantnfres.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
cantnfres.8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnfres.9  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
cantnfres.10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
cantnfres  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    D, n    A, n    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    X( n)

Proof of Theorem cantnfres
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfres.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
5 cantnfres.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
6 cantnfres.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfreslem 7377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
8 oieq2 7228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) )
109fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
11103ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
1211oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
1413mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }
15 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }  C_  B
1614, 15eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) 
C_  B
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
1817oif 7245 . . . . . . . . . . . . 13  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) : dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) --> ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) )
1918ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
2016, 19sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
21203ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
22 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2453ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  B  C_  D )
25 resmpt 5000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  D  ->  (
( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2726fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2811fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2923, 27, 283eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
3012, 29oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) ) )
3130oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
)  =  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) )
3231mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
339dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) )
34 eqid 2283 . . . . . 6  |-  On  =  On
35 mpt2eq12 5908 . . . . . 6  |-  ( ( dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  /\  On  =  On )  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3633, 34, 35sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3732, 36eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
38 eqid 2283 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
39 seqomeq12 6466 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔
( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4037, 38, 39sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  -> seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) )
4140, 33fveq12d 5531 . 2  |-  ( ph  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
42 cantnfres.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
43 eqid 2283 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
441, 2, 3, 17, 42, 43cantnfval2 7370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
45 cantnfres.9 . . 3  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
46 eqid 2283 . . 3  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
47 cantnfres.8 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 47, 45cantnfrescl 7378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
4942, 48mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T
)
50 eqid 2283 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
5145, 2, 4, 46, 49, 50cantnfval2 7370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  D
) `  ( n  e.  D  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
5241, 44, 513eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Oncon0 4392   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459   1oc1o 6472    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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