Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfsuc Structured version   Unicode version

Theorem cantnfsuc 7627
 Description: The value of the recursive function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfval.3 OrdIso
cantnfval.4
cantnfval.5 seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfsuc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfval.5 . . . 4 seq𝜔
21seqomsuc 6716 . . 3
4 elex 2966 . . . 4
6 fvex 5744 . . 3
7 simpl 445 . . . . . . . 8
87fveq2d 5734 . . . . . . 7
98oveq2d 6099 . . . . . 6
108fveq2d 5734 . . . . . 6
119, 10oveq12d 6101 . . . . 5
12 simpr 449 . . . . 5
1311, 12oveq12d 6101 . . . 4
14 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6099 . . . . . . 7
1614fveq2d 5734 . . . . . . 7
1715, 16oveq12d 6101 . . . . . 6
1817oveq1d 6098 . . . . 5
19 oveq2 6091 . . . . 5
2018, 19cbvmpt2v 6154 . . . 4
21 ovex 6108 . . . 4
2213, 20, 21ovmpt2a 6206 . . 3
235, 6, 22sylancl 645 . 2
243, 23eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319  c0 3630   cep 4494  con0 4583   csuc 4585  com 4847  ccnv 4879   cdm 4880  cima 4883  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  seq𝜔cseqom 6706  c1o 6719   coa 6723   comu 6724   coe 6725  OrdIsocoi 7480   CNF ccnf 7618 This theorem is referenced by:  cantnfle  7628  cantnflt  7629  cantnfp1lem3  7638  cantnflem1d  7646  cantnflem1  7647  cnfcomlem  7658 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707
 Copyright terms: Public domain W3C validator