Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval Structured version   Unicode version

Theorem cantnfval 7626
 Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfval.3 OrdIso
cantnfval.4
cantnfval.5 seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfval CNF
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4
2 cantnfs.2 . . . 4
3 cantnfs.3 . . . 4
41, 2, 3cantnffval 7621 . . 3 CNF OrdIso seq𝜔
54fveq1d 5733 . 2 CNF OrdIso seq𝜔
6 cantnfval.4 . . . 4
7 cantnfs.1 . . . . 5 CNF
81, 2, 3cantnfdm 7622 . . . . 5 CNF
97, 8syl5eq 2482 . . . 4
106, 9eleqtrd 2514 . . 3
11 vex 2961 . . . . . . . 8
1211cnvex 5409 . . . . . . 7
13 imaexg 5220 . . . . . . 7
14 eqid 2438 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
1514oiexg 7507 . . . . . . 7 OrdIso
1612, 13, 15mp2b 10 . . . . . 6 OrdIso
1716a1i 11 . . . . 5 OrdIso
18 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso OrdIso
19 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 OrdIso
2019cnveqd 5051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 OrdIso
2120imaeq1d 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 OrdIso
22 oieq2 7485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 OrdIso OrdIso
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso OrdIso OrdIso
2418, 23eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15 OrdIso OrdIso
25 cantnfval.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 OrdIso
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14 OrdIso
2726fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13 OrdIso
2827oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
2919, 27fveq12d 5737 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
3028, 29oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11 OrdIso
3130oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10 OrdIso
32313ad2ant1 979 . . . . . . . . 9 OrdIso
3332mpt2eq3dva 6141 . . . . . . . 8 OrdIso
34 eqid 2438 . . . . . . . 8
35 seqomeq12 6714 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
3633, 34, 35sylancl 645 . . . . . . 7 OrdIso seq𝜔 seq𝜔
37 cantnfval.5 . . . . . . 7 seq𝜔
3836, 37syl6eqr 2488 . . . . . 6 OrdIso seq𝜔
3926dmeqd 5075 . . . . . 6 OrdIso
4038, 39fveq12d 5737 . . . . 5 OrdIso seq𝜔
4117, 40csbied 3295 . . . 4 OrdIso seq𝜔
42 eqid 2438 . . . 4 OrdIso seq𝜔 OrdIso seq𝜔
43 fvex 5745 . . . 4
4441, 42, 43fvmpt 5809 . . 3 OrdIso seq𝜔
4510, 44syl 16 . 2 OrdIso seq𝜔
465, 45eqtrd 2470 1 CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958  csb 3253   cdif 3319  c0 3630   cmpt 4269   cep 4495  con0 4584  ccnv 4880   cdm 4881  cima 4884  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707  c1o 6720   coa 6724   comu 6725   coe 6726   cmap 7021  cfn 7112  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619 This theorem is referenced by:  cantnfval2  7627  cantnfle  7629  cantnflt2  7631  cantnff  7632  cantnf0  7633  cantnfp1lem3  7639  cantnflem1  7648  cantnf  7652  cnfcom2  7662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-oi 7482  df-cnf 7620
 Copyright terms: Public domain W3C validator