Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval2 Structured version   Unicode version

Theorem cantnfval2 7624
 Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
cantnfval.3 OrdIso
cantnfval.4
cantnfval.5 seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfval2 CNF seq𝜔
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . 3 CNF
2 cantnfs.2 . . 3
3 cantnfs.3 . . 3
4 cantnfval.3 . . 3 OrdIso
5 cantnfval.4 . . 3
6 cantnfval.5 . . 3 seq𝜔
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 7623 . 2 CNF
8 ssid 3367 . . 3
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 7622 . . . . 5
109simprd 450 . . . 4
11 sseq1 3369 . . . . . . 7
12 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
13 0ex 4339 . . . . . . . . . 10
146seqom0g 6713 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . 9
1612, 15syl6eq 2484 . . . . . . . 8
17 fveq2 5728 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
18 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
1918seqom0g 6713 . . . . . . . . . 10 seq𝜔
2013, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9 seq𝜔
2117, 20syl6eq 2484 . . . . . . . 8 seq𝜔
2216, 21eqeq12d 2450 . . . . . . 7 seq𝜔
2311, 22imbi12d 312 . . . . . 6 seq𝜔
2423imbi2d 308 . . . . 5 seq𝜔
25 sseq1 3369 . . . . . . 7
26 fveq2 5728 . . . . . . . 8
27 fveq2 5728 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
2826, 27eqeq12d 2450 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
2925, 28imbi12d 312 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3029imbi2d 308 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
31 sseq1 3369 . . . . . . 7
32 fveq2 5728 . . . . . . . 8
33 fveq2 5728 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
3432, 33eqeq12d 2450 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
3531, 34imbi12d 312 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3635imbi2d 308 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
37 sseq1 3369 . . . . . . 7
38 fveq2 5728 . . . . . . . 8
39 fveq2 5728 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
4038, 39eqeq12d 2450 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
4137, 40imbi12d 312 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
4241imbi2d 308 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
43 eqid 2436 . . . . . 6
4443a1ii 25 . . . . 5
45 sssucid 4658 . . . . . . . . . 10
46 sstr 3356 . . . . . . . . . 10
4745, 46mpan 652 . . . . . . . . 9
4847imim1i 56 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
49 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
506seqomsuc 6714 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
5218seqomsuc 6714 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
5352ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
54 ssv 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ssv 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 resmpt2 6168 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 56mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveqi 6094 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160sucid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 62sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418cantnfvalf 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq𝜔
6564ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq𝜔
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔
67 ovres 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔 seq𝜔 seq𝜔
6863, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
6958, 68syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
7053, 69eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔 seq𝜔
7151, 70eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
7249, 71syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10 seq𝜔 seq𝜔
7372expr 599 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
7473a2d 24 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
7548, 74syl5 30 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
7675expcom 425 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
7776a2d 24 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 4871 . . . 4 seq𝜔
7910, 78mpcom 34 . . 3 seq𝜔
808, 79mpi 17 . 2 seq𝜔
817, 80eqtrd 2468 1 CNF seq𝜔
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  c0 3628   cep 4492   wwe 4540  con0 4581   csuc 4583  com 4845   cxp 4876  ccnv 4877   cdm 4878   cres 4880  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  seq𝜔cseqom 6704  c1o 6717   coa 6721   comu 6722   coe 6723  OrdIsocoi 7478   CNF ccnf 7616 This theorem is referenced by:  cantnfres  7633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
 Copyright terms: Public domain W3C validator