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Theorem cantnfval2 7624
Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfval.3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnfval.4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnfval2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    A, k, z    k, F, z    S, k, z   
k, G, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfval.3 . . 3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
5 cantnfval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfval.5 . . 3  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 7623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
8 ssid 3367 . . 3  |-  dom  G  C_ 
dom  G
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 7622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
11 sseq1 3369 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
12 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  ( H `  (/) ) )
13 0ex 4339 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
146seqom0g 6713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
1612, 15syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  (/) )
17 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
18 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1918seqom0g 6713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
2013, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
2117, 20syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (/) )
2216, 21eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  <->  (/)  =  (/) ) )
2311, 22imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( (/)  C_  dom  G  ->  (/)  =  (/) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) ) ) )
25 sseq1 3369 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C_  dom  G  <->  v  C_  dom  G ) )
26 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( H `  u )  =  ( H `  v ) )
27 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
2826, 27eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
2925, 28imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) )
3029imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) ) )
31 sseq1 3369 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( u  C_  dom  G  <->  suc  v  C_  dom  G
) )
32 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 suc  v )
)
33 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) )
3432, 33eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  suc  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
3531, 34imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( suc  v  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
3635imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
37 sseq1 3369 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( u  C_  dom  G  <->  dom  G  C_  dom  G ) )
38 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 dom  G )
)
39 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
4038, 39eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  dom  G
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
4137, 40imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
4241imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) ) )
43 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
4443a1ii 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) )
45 sssucid 4658 . . . . . . . . . 10  |-  v  C_  suc  v
46 sstr 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  C_  suc  v  /\  suc  v  C_  dom  G
)  ->  v  C_  dom  G )
4745, 46mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
v  C_  dom  G )
4847imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
49 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
506seqomsuc 6714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ( H `  v
) ) )
5150ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) ) )
5218seqomsuc 6714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
5352ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
54 ssv 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  G  C_ 
_V
55 ssv 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  On  C_  _V
56 resmpt2 6168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  C_  _V  /\  On  C_  _V )  ->  ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G , 
z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) )
5754, 55, 56mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )
5857oveqi 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  suc  v  C_  dom  G )
60 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
6160sucid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
suc  v
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  suc  v )
6359, 62sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  dom  G )
6418cantnfvalf 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) : om --> On
6564ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  e.  On )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )
67 ovres 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  dom  G  /\  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6863, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6958, 68syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  =  ( v ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7053, 69eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7151, 70eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  <->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) ) )
7249, 71syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
7372expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7473a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7548, 74syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( (
v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7675expcom 425 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7776a2d 24 . . . . 5  |-  ( v  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )  -> 
( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 4871 . . . 4  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  (
ph  ->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
7910, 78mpcom 34 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
808, 79mpi 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
817, 80eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628    _E cep 4492    We wwe 4540   Oncon0 4581   suc csuc 4583   omcom 4845    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083  seq𝜔cseqom 6704   1oc1o 6717    +o coa 6721    .o comu 6722    ^o coe 6723  OrdIsocoi 7478   CNF ccnf 7616
This theorem is referenced by:  cantnfres  7633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
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