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Theorem cantnfval2 7386
Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfval.3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnfval.4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnfval2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    A, k, z    k, F, z    S, k, z   
k, G, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfval.3 . . 3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
5 cantnfval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfval.5 . . 3  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 7385 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
8 ssid 3210 . . 3  |-  dom  G  C_ 
dom  G
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 7384 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
11 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  ( H `  (/) ) )
13 0ex 4166 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
146seqom0g 6484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
1612, 15syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  (/) )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1918seqom0g 6484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
2013, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
2117, 20syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (/) )
2216, 21eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  <->  (/)  =  (/) ) )
2311, 22imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( (/)  C_  dom  G  ->  (/)  =  (/) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) ) ) )
25 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C_  dom  G  <->  v  C_  dom  G ) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( H `  u )  =  ( H `  v ) )
27 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
2826, 27eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
2925, 28imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) )
3029imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) ) )
31 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( u  C_  dom  G  <->  suc  v  C_  dom  G
) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 suc  v )
)
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) )
3432, 33eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  suc  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
3531, 34imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( suc  v  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
3635imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
37 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( u  C_  dom  G  <->  dom  G  C_  dom  G ) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 dom  G )
)
39 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
4038, 39eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  dom  G
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
4137, 40imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
4241imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) ) )
43 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
4443a1ii 24 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) )
45 sssucid 4485 . . . . . . . . . 10  |-  v  C_  suc  v
46 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  C_  suc  v  /\  suc  v  C_  dom  G
)  ->  v  C_  dom  G )
4745, 46mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
v  C_  dom  G )
4847imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
49 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
506seqomsuc 6485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ( H `  v
) ) )
5150ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) ) )
5218seqomsuc 6485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
5352ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
54 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  G  C_ 
_V
55 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  On  C_  _V
56 resmpt2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  C_  _V  /\  On  C_  _V )  ->  ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G , 
z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) )
5754, 55, 56mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )
5857oveqi 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
59 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  suc  v  C_  dom  G )
60 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
6160sucid 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
suc  v
6261a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  suc  v )
6359, 62sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  dom  G )
6418cantnfvalf 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) : om --> On
6564ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  e.  On )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )
67 ovres 6003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  dom  G  /\  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6863, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6958, 68syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  =  ( v ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7053, 69eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7151, 70eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  <->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) ) )
7249, 71syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
7372expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7473a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7548, 74syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( (
v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7675expcom 424 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7776a2d 23 . . . . 5  |-  ( v  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )  -> 
( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 4698 . . . 4  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  (
ph  ->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
7910, 78mpcom 32 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
808, 79mpi 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
817, 80eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468    _E cep 4319    We wwe 4367   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cantnfres  7395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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