Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfvalf Structured version   Unicode version

Theorem cantnfvalf 7620
 Description: Lemma for cantnf 7649. The function appearing in cantnfval 7623 is unconditionally a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cantnfvalf.f seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfvalf
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cantnfvalf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfvalf.f . . 3 seq𝜔
21fnseqom 6712 . 2
3 nn0suc 4869 . . . 4
4 fveq2 5728 . . . . . . 7
5 0ex 4339 . . . . . . . 8
61seqom0g 6713 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7
84, 7syl6eq 2484 . . . . . 6
9 0elon 4634 . . . . . 6
108, 9syl6eqel 2524 . . . . 5
111seqomsuc 6714 . . . . . . . . 9
12 df-ov 6084 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eq 2484 . . . . . . . 8
14 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . 12
15 fnoa 6752 . . . . . . . . . . . . . 14
16 oacl 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716rgen2a 2772 . . . . . . . . . . . . . 14
18 ffnov 6174 . . . . . . . . . . . . . 14
1915, 17, 18mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . 13
2019, 9f0cli 5880 . . . . . . . . . . . 12
2114, 20eqeltri 2506 . . . . . . . . . . 11
2221rgen2w 2774 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
2423fmpt2 6418 . . . . . . . . . 10
2522, 24mpbi 200 . . . . . . . . 9
2625, 9f0cli 5880 . . . . . . . 8
2713, 26syl6eqel 2524 . . . . . . 7
28 fveq2 5728 . . . . . . . 8
2928eleq1d 2502 . . . . . . 7
3027, 29syl5ibrcom 214 . . . . . 6
3130rexlimiv 2824 . . . . 5
3210, 31jaoi 369 . . . 4
333, 32syl 16 . . 3
3433rgen 2771 . 2
35 ffnfv 5894 . 2
362, 34, 35mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wo 358   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956  c0 3628  cop 3817  con0 4581   csuc 4583  com 4845   cxp 4876   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  seq𝜔cseqom 6704   coa 6721 This theorem is referenced by:  cantnfval2  7624  cantnfle  7626  cantnflt  7627  cantnflem1d  7644  cantnflem1  7645  cnfcomlem  7656 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-oadd 6728
 Copyright terms: Public domain W3C validator