MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofass Unicode version

Theorem caofass 6127
Description: Transfer an associative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
caofref.2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
caofcom.3  |-  ( ph  ->  G : A --> S )
caofass.4  |-  ( ph  ->  H : A --> S )
caofass.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) ) )
Assertion
Ref Expression
caofass  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F R G )  o F T H )  =  ( F  o F O ( G  o F P H ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, G, y, z    x, H, y, z    x, O, y, z    x, P, y, z    ph, x, y, z   
x, R, y, z   
x, S, y, z   
x, T, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem caofass
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofass.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) ) )
21ralrimivvva 2649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) ) )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( (
x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) ) )
4 caofref.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
5 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> S  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  w
)  e.  S )
64, 5sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  w )  e.  S )
7 caofcom.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> S )
8 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( G : A --> S  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  S )
97, 8sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  S )
10 caofass.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : A --> S )
11 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( H : A --> S  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w
)  e.  S )
1210, 11sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w )  e.  S )
13 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  w )  ->  (
x R y )  =  ( ( F `
 w ) R y ) )
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  w )  ->  (
( x R y ) T z )  =  ( ( ( F `  w ) R y ) T z ) )
15 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  w )  ->  (
x O ( y P z ) )  =  ( ( F `
 w ) O ( y P z ) ) )
1614, 15eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  w )  ->  (
( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) )  <->  ( (
( F `  w
) R y ) T z )  =  ( ( F `  w ) O ( y P z ) ) ) )
17 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  w
) R y )  =  ( ( F `
 w ) R ( G `  w
) ) )
1817oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  w )  ->  (
( ( F `  w ) R y ) T z )  =  ( ( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) T z ) )
19 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  w )  ->  (
y P z )  =  ( ( G `
 w ) P z ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  w
) O ( y P z ) )  =  ( ( F `
 w ) O ( ( G `  w ) P z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  w )  ->  (
( ( ( F `
 w ) R y ) T z )  =  ( ( F `  w ) O ( y P z ) )  <->  ( (
( F `  w
) R ( G `
 w ) ) T z )  =  ( ( F `  w ) O ( ( G `  w
) P z ) ) ) )
22 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( H `  w )  ->  (
( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) T z )  =  ( ( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) T ( H `  w
) ) )
23 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( H `  w )  ->  (
( G `  w
) P z )  =  ( ( G `
 w ) P ( H `  w
) ) )
2423oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( H `  w )  ->  (
( F `  w
) O ( ( G `  w ) P z ) )  =  ( ( F `
 w ) O ( ( G `  w ) P ( H `  w ) ) ) )
2522, 24eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( H `  w )  ->  (
( ( ( F `
 w ) R ( G `  w
) ) T z )  =  ( ( F `  w ) O ( ( G `
 w ) P z ) )  <->  ( (
( F `  w
) R ( G `
 w ) ) T ( H `  w ) )  =  ( ( F `  w ) O ( ( G `  w
) P ( H `
 w ) ) ) ) )
2616, 21, 25rspc3v 2906 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  S  /\  ( G `  w )  e.  S  /\  ( H `  w )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( G `  w
) ) T ( H `  w ) )  =  ( ( F `  w ) O ( ( G `
 w ) P ( H `  w
) ) ) ) )
276, 9, 12, 26syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( x R y ) T z )  =  ( x O ( y P z ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( G `  w
) ) T ( H `  w ) )  =  ( ( F `  w ) O ( ( G `
 w ) P ( H `  w
) ) ) ) )
283, 27mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) T ( H `
 w ) )  =  ( ( F `
 w ) O ( ( G `  w ) P ( H `  w ) ) ) )
2928mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( ( ( F `
 w ) R ( G `  w
) ) T ( H `  w ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  w
) O ( ( G `  w ) P ( H `  w ) ) ) ) )
30 caofref.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
31 ovex 5899 . . . 4  |-  ( ( F `  w ) R ( G `  w ) )  e. 
_V
3231a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
( F `  w
) R ( G `
 w ) )  e.  _V )
334feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 w ) ) )
347feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  A  |->  ( G `
 w ) ) )
3530, 6, 9, 33, 34offval2 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F R G )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) ) )
3610feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( w  e.  A  |->  ( H `
 w ) ) )
3730, 32, 12, 35, 36offval2 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F R G )  o F T H )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( ( F `  w ) R ( G `  w ) ) T ( H `  w
) ) ) )
38 ovex 5899 . . . 4  |-  ( ( G `  w ) P ( H `  w ) )  e. 
_V
3938a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
( G `  w
) P ( H `
 w ) )  e.  _V )
4030, 9, 12, 34, 36offval2 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o F P H )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( G `  w ) P ( H `  w ) ) ) )
4130, 6, 39, 33, 40offval2 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F O ( G  o F P H ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `
 w ) O ( ( G `  w ) P ( H `  w ) ) ) ) )
4229, 37, 413eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F R G )  o F T H )  =  ( F  o F O ( G  o F P H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092
This theorem is referenced by:  psrgrp  16159  psrlmod  16162  itg2mulc  19118  plydivlem4  19692  dchrabl  20509  mndvass  27550  expgrowth  27655  lfladdass  29885  lflvsass  29893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094
  Copyright terms: Public domain W3C validator