Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofass Structured version   Unicode version

Theorem caofass 6340
 Description: Transfer an associative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caofass.5
Assertion
Ref Expression
caofass
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem caofass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofass.5 . . . . . 6
21ralrimivvva 2801 . . . . 5
32adantr 453 . . . 4
4 caofref.2 . . . . . 6
54ffvelrnda 5872 . . . . 5
6 caofcom.3 . . . . . 6
76ffvelrnda 5872 . . . . 5
8 caofass.4 . . . . . 6
98ffvelrnda 5872 . . . . 5
10 oveq1 6090 . . . . . . . 8
1110oveq1d 6098 . . . . . . 7
12 oveq1 6090 . . . . . . 7
1311, 12eqeq12d 2452 . . . . . 6
14 oveq2 6091 . . . . . . . 8
1514oveq1d 6098 . . . . . . 7
16 oveq1 6090 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6099 . . . . . . 7
1815, 17eqeq12d 2452 . . . . . 6
19 oveq2 6091 . . . . . . 7
20 oveq2 6091 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6099 . . . . . . 7
2219, 21eqeq12d 2452 . . . . . 6
2313, 18, 22rspc3v 3063 . . . . 5
245, 7, 9, 23syl3anc 1185 . . . 4
253, 24mpd 15 . . 3
2625mpteq2dva 4297 . 2
27 caofref.1 . . 3
28 ovex 6108 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
304feqmptd 5781 . . . 4
316feqmptd 5781 . . . 4
3227, 5, 7, 30, 31offval2 6324 . . 3
338feqmptd 5781 . . 3
3427, 29, 9, 32, 33offval2 6324 . 2
35 ovex 6108 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
3727, 7, 9, 31, 33offval2 6324 . . 3
3827, 5, 36, 30, 37offval2 6324 . 2
3926, 34, 383eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305 This theorem is referenced by:  psrgrp  16464  psrlmod  16467  itg2mulc  19641  plydivlem4  20215  dchrabl  21040  mndvass  27426  expgrowth  27531  lfladdass  29933  lflvsass  29941 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307
 Copyright terms: Public domain W3C validator