Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofass Unicode version

Theorem caofass 6127
 Description: Transfer an associative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caofass.5
Assertion
Ref Expression
caofass
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem caofass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofass.5 . . . . . 6
21ralrimivvva 2649 . . . . 5
32adantr 451 . . . 4
4 caofref.2 . . . . . 6
5 ffvelrn 5679 . . . . . 6
64, 5sylan 457 . . . . 5
7 caofcom.3 . . . . . 6
8 ffvelrn 5679 . . . . . 6
97, 8sylan 457 . . . . 5
10 caofass.4 . . . . . 6
11 ffvelrn 5679 . . . . . 6
1210, 11sylan 457 . . . . 5
13 oveq1 5881 . . . . . . . 8
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7
15 oveq1 5881 . . . . . . 7
1614, 15eqeq12d 2310 . . . . . 6
17 oveq2 5882 . . . . . . . 8
1817oveq1d 5889 . . . . . . 7
19 oveq1 5881 . . . . . . . 8
2019oveq2d 5890 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2310 . . . . . 6
22 oveq2 5882 . . . . . . 7
23 oveq2 5882 . . . . . . . 8
2423oveq2d 5890 . . . . . . 7
2522, 24eqeq12d 2310 . . . . . 6
2616, 21, 25rspc3v 2906 . . . . 5
276, 9, 12, 26syl3anc 1182 . . . 4
283, 27mpd 14 . . 3
2928mpteq2dva 4122 . 2
30 caofref.1 . . 3
31 ovex 5899 . . . 4
3231a1i 10 . . 3
334feqmptd 5591 . . . 4
347feqmptd 5591 . . . 4
3530, 6, 9, 33, 34offval2 6111 . . 3
3610feqmptd 5591 . . 3
3730, 32, 12, 35, 36offval2 6111 . 2
38 ovex 5899 . . . 4
3938a1i 10 . . 3
4030, 9, 12, 34, 36offval2 6111 . . 3
4130, 6, 39, 33, 40offval2 6111 . 2
4229, 37, 413eqtr4d 2338 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092 This theorem is referenced by:  psrgrp  16159  psrlmod  16162  itg2mulc  19118  plydivlem4  19692  dchrabl  20509  mndvass  27550  expgrowth  27655  lfladdass  29885  lflvsass  29893 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094
 Copyright terms: Public domain W3C validator