Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofinvl Unicode version

Theorem caofinvl 6104
 Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofinv.3
caofinv.4
caofinv.5
caofinvl.6
Assertion
Ref Expression
caofinvl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9
32adantr 451 . . . . . . . 8
4 caofref.2 . . . . . . . . 9
5 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
64, 5sylan 457 . . . . . . . 8
7 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
83, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . 7
9 eqid 2283 . . . . . . 7
108, 9fmptd 5684 . . . . . 6
11 caofinv.5 . . . . . . 7
1211feq1d 5379 . . . . . 6
1310, 12mpbird 223 . . . . 5
14 ffvelrn 5663 . . . . 5
1513, 14sylan 457 . . . 4
16 ffvelrn 5663 . . . . 5
174, 16sylan 457 . . . 4
18 fvex 5539 . . . . . . 7
1918, 9fnmpti 5372 . . . . . 6
2011fneq1d 5335 . . . . . 6
2119, 20mpbiri 224 . . . . 5
22 dffn5 5568 . . . . 5
2321, 22sylib 188 . . . 4
244feqmptd 5575 . . . 4
251, 15, 17, 23, 24offval2 6095 . . 3
2611fveq1d 5527 . . . . . . 7
27 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
2827fveq2d 5529 . . . . . . . 8
29 fvex 5539 . . . . . . . 8
3028, 9, 29fvmpt 5602 . . . . . . 7
3126, 30sylan9eq 2335 . . . . . 6
3231oveq1d 5873 . . . . 5
33 caofinvl.6 . . . . . . . 8
3433ralrimiva 2626 . . . . . . 7
3534adantr 451 . . . . . 6
36 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
37 id 19 . . . . . . . . 9
3836, 37oveq12d 5876 . . . . . . . 8
3938eqeq1d 2291 . . . . . . 7
4039rspcva 2882 . . . . . 6
4117, 35, 40syl2anc 642 . . . . 5
4232, 41eqtrd 2315 . . . 4
4342mpteq2dva 4106 . . 3
4425, 43eqtrd 2315 . 2
45 fconstmpt 4732 . 2
4644, 45syl6eqr 2333 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076 This theorem is referenced by:  grpvlinv  27450  lflnegl  29266 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078
 Copyright terms: Public domain W3C validator