Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofinvl Structured version   Unicode version

Theorem caofinvl 6332
 Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofinv.3
caofinv.4
caofinv.5
caofinvl.6
Assertion
Ref Expression
caofinvl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9
32adantr 453 . . . . . . . 8
4 caofref.2 . . . . . . . . 9
54ffvelrnda 5871 . . . . . . . 8
63, 5ffvelrnd 5872 . . . . . . 7
7 eqid 2437 . . . . . . 7
86, 7fmptd 5894 . . . . . 6
9 caofinv.5 . . . . . . 7
109feq1d 5581 . . . . . 6
118, 10mpbird 225 . . . . 5
1211ffvelrnda 5871 . . . 4
134ffvelrnda 5871 . . . 4
14 fvex 5743 . . . . . . 7
1514, 7fnmpti 5574 . . . . . 6
169fneq1d 5537 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 226 . . . . 5
18 dffn5 5773 . . . . 5
1917, 18sylib 190 . . . 4
204feqmptd 5780 . . . 4
211, 12, 13, 19, 20offval2 6323 . . 3
229fveq1d 5731 . . . . . . 7
23 fveq2 5729 . . . . . . . . 9
2423fveq2d 5733 . . . . . . . 8
25 fvex 5743 . . . . . . . 8
2624, 7, 25fvmpt 5807 . . . . . . 7
2722, 26sylan9eq 2489 . . . . . 6
2827oveq1d 6097 . . . . 5
29 caofinvl.6 . . . . . . . 8
3029ralrimiva 2790 . . . . . . 7
3130adantr 453 . . . . . 6
32 fveq2 5729 . . . . . . . . 9
33 id 21 . . . . . . . . 9
3432, 33oveq12d 6100 . . . . . . . 8
3534eqeq1d 2445 . . . . . . 7
3635rspcva 3051 . . . . . 6
3713, 31, 36syl2anc 644 . . . . 5
3828, 37eqtrd 2469 . . . 4
3938mpteq2dva 4296 . . 3
4021, 39eqtrd 2469 . 2
41 fconstmpt 4922 . 2
4240, 41syl6eqr 2487 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  csn 3815   cmpt 4267   cxp 4877   wfn 5450  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cof 6304 This theorem is referenced by:  grpvlinv  27428  lflnegl  29875 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306
 Copyright terms: Public domain W3C validator