MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  card0 Unicode version

Theorem card0 7779
Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
card0  |-  ( card `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem card0
StepHypRef Expression
1 0elon 4576 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 cardonle 7778 . . 3  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( card `  (/) )  C_  (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( card `  (/) )  C_  (/)
4 ss0b 3601 . 2  |-  ( (
card `  (/) )  C_  (/)  <->  (
card `  (/) )  =  (/) )
53, 4mpbi 200 1  |-  ( card `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   (/)c0 3572   Oncon0 4523   ` cfv 5395   cardccrd 7756
This theorem is referenced by:  cardidm  7780  cardnueq0  7785  alephcard  7885  ackbij2lem2  8054  cf0  8065  cardcf  8066  cardeq0  8361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-en 7047  df-card 7760
  Copyright terms: Public domain W3C validator