Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardf2 Structured version   Unicode version

Theorem cardf2 7822
 Description: The cardinality function is a function with domain the well-orderable sets. Assuming AC, this is the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cardf2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardf2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-card 7818 . . . 4
21funmpt2 5482 . . 3
3 rabab 2965 . . . 4
41dmmpt 5357 . . . 4
5 intexrab 4351 . . . . 5
65abbii 2547 . . . 4
73, 4, 63eqtr4i 2465 . . 3
8 df-fn 5449 . . 3
92, 7, 8mpbir2an 887 . 2
10 simpr 448 . . . . . . . . 9
11 vex 2951 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqelr 2524 . . . . . . . 8
13 intex 4348 . . . . . . . 8
1412, 13sylibr 204 . . . . . . 7
15 rabn0 3639 . . . . . . 7
1614, 15sylib 189 . . . . . 6
17 vex 2951 . . . . . . 7
18 breq2 4208 . . . . . . . 8
1918rexbidv 2718 . . . . . . 7
2017, 19elab 3074 . . . . . 6
2116, 20sylibr 204 . . . . 5
22 ssrab2 3420 . . . . . . 7
23 oninton 4772 . . . . . . 7
2422, 14, 23sylancr 645 . . . . . 6
2510, 24eqeltrd 2509 . . . . 5
2621, 25jca 519 . . . 4
2726ssopab2i 4474 . . 3
28 df-card 7818 . . . 4
29 df-mpt 4260 . . . 4
3028, 29eqtri 2455 . . 3
31 df-xp 4876 . . 3
3227, 30, 313sstr4i 3379 . 2
33 dff2 5873 . 2
349, 32, 33mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421   wne 2598  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cint 4042   class class class wbr 4204  copab 4257   cmpt 4258  con0 4573   cxp 4868   cdm 4870   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442   cen 7098  ccrd 7814 This theorem is referenced by:  cardon  7823  isnum2  7824  cardf  8417  smobeth  8453  hashkf  11612  hashgval  11613 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-card 7818
 Copyright terms: Public domain W3C validator