Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardinfima Structured version   Unicode version

Theorem cardinfima 7971
 Description: If a mapping to cardinals has an infinite value, then the union of its image is an infinite cardinal. Corollary 11.17 of [TakeutiZaring] p. 104. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
cardinfima
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cardinfima
StepHypRef Expression
1 elex 2957 . 2
2 isinfcard 7966 . . . . . . . . . . . . 13
32bicomi 194 . . . . . . . . . . . 12
43simplbi 447 . . . . . . . . . . 11
5 ffn 5584 . . . . . . . . . . . 12
6 fnfvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
8 fnima 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15
107, 9sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . 14
11 elssuni 4036 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13
1312imp 419 . . . . . . . . . . . 12
145, 13sylan 458 . . . . . . . . . . 11
154, 14sylan9ssr 3355 . . . . . . . . . 10
1615anasss 629 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
18 carduniima 7970 . . . . . . . . . 10
19 iscard3 7967 . . . . . . . . . 10
2018, 19syl6ibr 219 . . . . . . . . 9
2120adantrd 455 . . . . . . . 8
2217, 21jcad 520 . . . . . . 7
23 isinfcard 7966 . . . . . . 7
2422, 23syl6ib 218 . . . . . 6
2524exp4d 593 . . . . 5
2625imp 419 . . . 4
2726rexlimdv 2822 . . 3
2827expimpd 587 . 2
291, 28syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2699  cvv 2949   cun 3311   wss 3313  cuni 4008  com 4838   crn 4872  cima 4874   wfn 5442  wf 5443  cfv 5447  ccrd 7815  cale 7816 This theorem is referenced by:  alephfplem4  7981 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-oi 7472  df-har 7519  df-card 7819  df-aleph 7820
 Copyright terms: Public domain W3C validator