Theorem cardne 4830

Description: No member of a cardinal number of a set is equinumerous to the set. Proposition 10.6(2) of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardne	|- (A e. (card` B) -> -. A ~~ B)

Proof of Theorem cardne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 4827	. . 3 |- (card` B) e. On
2	1	onel 3098	. 2 |- (A e. (card` B) -> A e. On)
3		breq1 2622	. . . . . 6 |- (x = A -> (x ~~ B <-> A ~~ B))
4	3	onintss 3011	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ~~ B -> |^|{x e. On | x ~~ B} (_ A))
5		cardval 4826	. . . . . 6 |- (card` B) = |^|{x e. On | x ~~ B}
6	5	sseq1i 2085	. . . . 5 |- ((card` B) (_ A <-> |^|{x e. On | x ~~ B} (_ A)
7	4, 6	syl6ibr 213	. . . 4 |- (A e. On -> (A ~~ B -> (card` B) (_ A))
8		ontri1 2981	. . . . 5 |- (((card` B) e. On /\ A e. On) -> ((card` B) (_ A <-> -. A e. (card` B)))
9	1, 8	mpan 695	. . . 4 |- (A e. On -> ((card` B) (_ A <-> -. A e. (card` B)))
10	7, 9	sylibd 202	. . 3 |- (A e. On -> (A ~~ B -> -. A e. (card` B)))
11	10	con2d 91	. 2 |- (A e. On -> (A e. (card` B) -> -. A ~~ B))
12	2, 11	mpcom 49	1 |- (A e. (card` B) -> -. A ~~ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  |^|cint 2533   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  ` cfv 3182   ~~ cen 4364  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  carden 4831  cardlim 4851  cardsdomel 4852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368  df-card 4816

Copyright terms: Public domain