Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardne Unicode version

Theorem cardne 7598
 Description: No member of a cardinal number of a set is equinumerous to the set. Proposition 10.6(2) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardne

Proof of Theorem cardne
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5554 . 2
2 cardon 7577 . . . . . . . . . 10
32oneli 4500 . . . . . . . . 9
4 breq1 4026 . . . . . . . . . 10
54onintss 4442 . . . . . . . . 9
63, 5syl 15 . . . . . . . 8
76adantl 452 . . . . . . 7
8 cardval3 7585 . . . . . . . . 9
98sseq1d 3205 . . . . . . . 8
109adantr 451 . . . . . . 7
117, 10sylibrd 225 . . . . . 6
12 ontri1 4426 . . . . . . . 8
132, 3, 12sylancr 644 . . . . . . 7
1413adantl 452 . . . . . 6
1511, 14sylibd 205 . . . . 5
1615con2d 107 . . . 4
1716ex 423 . . 3
1817pm2.43d 44 . 2
191, 18mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1684  crab 2547   wss 3152  cint 3862   class class class wbr 4023  con0 4392   cdm 4689  cfv 5255   cen 6860  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  carden2b  7600  cardlim  7605  cardsdomelir  7606 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-en 6864  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator