MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Unicode version

Theorem cardnn 7596
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 4662 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 7582 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 7586 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 7053 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 7594 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 7044 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 650 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 201 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656   dom cdm 4689   ` cfv 5255    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  card1  7601  cardennn  7616  cardsucnn  7618  nnsdomel  7623  pm54.43lem  7632  iscard3  7720  nnacda  7827  ficardun  7828  ficardun2  7829  pwsdompw  7830  ackbij2  7869  sdom2en01  7928  fin23lem22  7953  fin1a2lem9  8034  ficard  8187  cfpwsdom  8206  cardfz  11032  hashgval2  11360  hashdom  11361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator