Theorem cardnn 4834

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
cardnn	|- (A e. om -> (card` A) = A)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 4393	. . . 4 |- ((card` A) ~< A -> -. (card` A) ~~ A)
2		nnont 3144	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		oncardid 4831	. . . . 5 |- (A e. On -> (card` A) ~~ A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (card` A) ~~ A)
5	1, 4	nsyl3 119	. . 3 |- (A e. om -> -. (card` A) ~< A)
6		oncardon 4830	. . . . . 6 |- (A e. On -> (card` A) e. On)
7		ordelpss 2981	. . . . . . 7 |- ((Ord (card` A) /\ Ord A) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
8		eloni 2964	. . . . . . 7 |- ((card` A) e. On -> Ord (card` A))
9		eloni 2964	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
10	7, 8, 9	syl2an 456	. . . . . 6 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
11	6, 10	mpancom 707	. . . . 5 |- (A e. On -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
12	2, 11	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
13		cardonle 4832	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (card` A) (_ A)
14		onsseleq 3005	. . . . . . . . 9 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
15	6, 14	mpancom 707	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
16	13, 15	mpbid 195	. . . . . . 7 |- (A e. On -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
17	2, 16	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. om -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
18		elnn 3148	. . . . . . . 8 |- (((card` A) e. A /\ A e. om) -> (card` A) e. om)
19	18	expcom 374	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) e. A -> (card` A) e. om))
20		eleq1a 1546	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) = A -> (card` A) e. om))
21	19, 20	jaod 426	. . . . . 6 |- (A e. om -> (((card` A) e. A \/ (card` A) = A) -> (card` A) e. om))
22	17, 21	mpd 26	. . . . 5 |- (A e. om -> (card` A) e. om)
23		nnsdomo 4527	. . . . 5 |- (((card` A) e. om /\ A e. om) -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
24	22, 23	mpancom 707	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
25	12, 24	bitr4d 533	. . 3 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) ~< A))
26	5, 25	mtbird 717	. 2 |- (A e. om -> -. (card` A) e. A)
27	17	ord 232	. 2 |- (A e. om -> (-. (card` A) e. A -> (card` A) = A))
28	26, 27	mpd 26	1 |- (A e. om -> (card` A) = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050   (. wpss 2051   class class class wbr 2624  Ord word 2953  Oncon0 2954  omcom 3137  ` cfv 3188   ~~ cen 4370   ~< csdm 4372  cardccrd 4823

This theorem is referenced by:  card1 4843  iscard3 4899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-card 4826

Copyright terms: Public domain