Theorem cardon 4837

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. Unlike Takeuti/Zaring's proposition, we need the Axiom of Choice (in cardval 4836) because of our slightly different definition of of cardinal number.

Assertion

Ref	Expression
cardon	|- (card` A) e. On

Proof of Theorem cardon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval 4836	. 2 |- (card` A) = |^|{x e. On | x ~~ A}
2		ssrab2 2134	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} (_ On
3		fvex 3738	. . . . 5 |- (card` A) e. V
4	1, 3	eqeltrr 1548	. . . 4 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. V
5		intex 2734	. . . 4 |- ({x e. On | x ~~ A} =/= (/) <-> |^|{x e. On | x ~~ A} e. V)
6	4, 5	mpbir 190	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} =/= (/)
7		oninton 3018	. . 3 |- (({x e. On | x ~~ A} (_ On /\ {x e. On | x ~~ A} =/= (/)) -> |^|{x e. On | x ~~ A} e. On)
8	2, 6, 7	mp2an 699	. 2 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. On
9	1, 8	eqeltr 1547	1 |- (card` A) e. On

Syntax hints:   e. wcel 960   =/= wne 1588  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  ` cfv 3188   ~~ cen 4370  cardccrd 4823

This theorem is referenced by:  oncard 4839  cardne 4840  carden 4841  carddomi 4845  carddom 4846  cardsdom 4847  domtri 4848  cardlim 4862  cardsdomel 4863  iscard 4864  iscard2 4865  cardval2 4866  carduni 4869  cardprc 4872  alephnbtwn 4879  cardaleph 4896  iscard3 4899  alephsson 4905  alephval3 4914  cardcf 4923  cfeq0 4926  cfsuc 4927  cda1en 4938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-en 4374  df-card 4826

Copyright terms: Public domain