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Theorem carduni 7614
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem carduni
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  x )  =  ( card `  y
) )
2 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
31, 2eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( card `  x )  =  x  <->  ( card `  y
)  =  y ) )
43rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  y )  =  y ) )
5 cardon 7577 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
6 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  e.  On  <->  y  e.  On ) )
75, 6mpbii 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e.  On )
84, 7syl6com 31 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
98ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  A  C_  On )
10 ssonuni 4578 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  On  ->  U. A  e.  On ) )
119, 10syl5 28 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  U. A  e.  On ) )
1211imp 418 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  U. A  e.  On )
13 cardonle 7590 . . . 4  |-  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A ) 
C_  U. A )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A ) 
C_  U. A )
15 cardon 7577 . . . . 5  |-  ( card `  U. A )  e.  On
1615onirri 4499 . . . 4  |-  -.  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A )
17 eluni 3830 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  <->  E. y
( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
) )
18 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
19 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( y  C_  U. A  -> 
y  ~<_  U. A ) )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  C_  U. A  ->  y  ~<_  U. A
) )
2118, 20syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  ~<_  U. A
) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( card `  y )  =  y )
23 onenon 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  ( card `  y )  e.  dom  card )
245, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  y )  e.  dom  card
2522, 24syl6eqelr 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e. 
dom  card )
26 onenon 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  e.  dom  card )
27 carddom2 7610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\ 
U. A  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2825, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2921, 28sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( card `  y )  C_  ( card `  U. A ) ) )
30 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  C_  ( card ` 
U. A ) ) )
3229, 31sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
33 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( card `  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
3432, 33syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( y  e.  A  -> 
( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3635com3r 73 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
374, 36syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3837com4r 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  U. A )  e.  y  ->  (
y  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) ) )
3938imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4039exlimiv 1666 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4117, 40sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4241com13 74 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4342imp 418 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  On  /\ 
A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4412, 43sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4516, 44mtoi 169 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A )
4615onordi 4497 . . . 4  |-  Ord  ( card `  U. A )
47 eloni 4402 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  Ord  U. A )
4812, 47syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  Ord  U. A )
49 ordtri4 4429 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  U. A )  /\  Ord  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5046, 48, 49sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5114, 45, 50mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A )  =  U. A )
5251ex 423 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  cardiun  7615  carduniima  7723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572
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