Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catccofval Unicode version

Theorem catccofval 13932
 Description: Composition in the category of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcbas.c CatCat
catcbas.b
catcbas.u
catcco.o comp
Assertion
Ref Expression
catccofval func
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem catccofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcbas.c . . . 4 CatCat
2 catcbas.u . . . 4
3 catcbas.b . . . . 5
41, 3, 2catcbas 13929 . . . 4
5 eqid 2283 . . . . 5
61, 3, 2, 5catchomfval 13930 . . . 4
7 eqidd 2284 . . . 4 func func
81, 2, 4, 6, 7catcval 13928 . . 3 comp func
98fveq2d 5529 . 2 comp comp comp func
10 catcco.o . 2 comp
11 fvex 5539 . . . . . 6
123, 11eqeltri 2353 . . . . 5
1312, 12xpex 4801 . . . 4
1413, 12mpt2ex 6198 . . 3 func
15 catstr 13831 . . . 4 comp func Struct ;
16 df-cco 13233 . . . . 5 comp Slot ;
17 1nn0 9981 . . . . . 6
18 5nn 9880 . . . . . 6
1917, 18decnncl 10137 . . . . 5 ;
2016, 19ndxid 13169 . . . 4 comp Slot comp
21 snsstp3 3768 . . . 4 comp func comp func
2215, 20, 21strfv 13180 . . 3 func func comp comp func
2314, 22ax-mp 8 . 2 func comp comp func
249, 10, 233eqtr4g 2340 1 func
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  ctp 3642  cop 3643   cxp 4687  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c2nd 6121  c1 8738  c5 9798  ;cdc 10124  cnx 13145  cbs 13148   chom 13219  compcco 13220   cfunc 13728   func ccofu 13730  CatCatccatc 13926 This theorem is referenced by:  catcco  13933 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-catc 13927
 Copyright terms: Public domain W3C validator