MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catchomfval Unicode version

Theorem catchomfval 13930
Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcbas.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catcbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catchomfval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
catchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    ph, x, y    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catchomfval
Dummy variables  v 
z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catchomfval.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
2 catcbas.c . . . . 5  |-  C  =  (CatCat `  U )
3 catcbas.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 catcbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4, 3catcbas 13929 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
6 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
) )
7 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )  =  ( v  e.  ( B  X.  B
) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v
)  Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) ) )
82, 3, 5, 6, 7catcval 13928 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } )
98fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ph  ->  (  Hom  `  C
)  =  (  Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
101, 9syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
11 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
124, 11eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
1312, 12mpt2ex 6198 . . 3  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) )  e.  _V
14 catstr 13831 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
15 df-hom 13232 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
16 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
17 4nn 9879 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
1816, 17decnncl 10137 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN
1915, 18ndxid 13169 . . . 4  |-  Hom  = Slot  (  Hom  `  ndx )
20 snsstp2 3767 . . . 4  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. }
2114, 19, 20strfv 13180 . . 3  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  Func  y )
)  =  (  Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
2213, 21mp1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) )  =  (  Hom  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  Func  y
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( B  X.  B ) ,  z  e.  B  |->  ( g  e.  ( ( 2nd `  v ) 
Func  z ) ,  f  e.  (  Func  `  v )  |->  ( g  o.func  f ) ) )
>. } ) )
2310, 22eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
Func  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {ctp 3642   <.cop 3643    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   2ndc2nd 6121   1c1 8738   4c4 9797   5c5 9798  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220    Func cfunc 13728    o.func ccofu 13730  CatCatccatc 13926
This theorem is referenced by:  catchom  13931  catccofval  13932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-catc 13927
  Copyright terms: Public domain W3C validator