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Theorem catcisolem 13954
Description: Lemma for catciso 13955. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catciso.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catciso.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catciso.r  |-  R  =  ( Base `  X
)
catciso.s  |-  S  =  ( Base `  Y
)
catciso.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catciso.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catciso.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catcisolem.i  |-  I  =  (Inv `  C )
catcisolem.g  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
catcisolem.1  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
catcisolem.2  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
catcisolem  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, F, y    x, G, y    ph, x, y   
x, I, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    U( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catcisolem
Dummy variables  f 
g  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcisolem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
2 f1ococnv1 5518 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R ) )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R )
)
413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
-1-1-onto-> S )
5 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  F : R
--> S )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
--> S )
7 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  u  e.  R )
86, 7ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  u )  e.  S
)
9 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  v  e.  R )
106, 9ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  v )  e.  S
)
11 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  x  =  ( F `  u ) )
1211fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  x )  =  ( `' F `  ( F `
 u ) ) )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
y  =  ( F `
 v ) )
1413fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  y )  =  ( `' F `  ( F `
 v ) ) )
1512, 14oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
1615cnveqd 4873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
17 catcisolem.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
18 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  e. 
_V
1918cnvex 5225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  e.  _V
2016, 17, 19ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  S  /\  ( F `  v )  e.  S )  -> 
( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) ) )
218, 10, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
22 f1ocnvfv1 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
234, 7, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
24 f1ocnvfv1 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
254, 9, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
2623, 25oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  =  ( u G v ) )
2726cnveqd 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  `' (
( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  =  `' ( u G v ) )
2821, 27eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( u G v ) )
2928coeq1d 4861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) ) )
30 catciso.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  X
)
31 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (  Hom  `  X )  =  (  Hom  `  X )
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (  Hom  `  Y )  =  (  Hom  `  Y )
33 catcisolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
34333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
3530, 31, 32, 34, 7, 9ffthf1o 13809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( u G v ) : ( u (  Hom  `  X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u
) (  Hom  `  Y
) ( F `  v ) ) )
36 f1ococnv1 5518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u G v ) : ( u (  Hom  `  X )
v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u ) (  Hom  `  Y ) ( F `
 v ) )  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3829, 37eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3938mpt2eq3dva 5928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  X ) v ) ) ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  X ) `  z
)  =  ( (  Hom  `  X ) `  <. u ,  v
>. ) )
41 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( u (  Hom  `  X
) v )  =  ( (  Hom  `  X
) `  <. u ,  v >. )
4240, 41syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  X ) `  z
)  =  ( u (  Hom  `  X
) v ) )
4342reseq2d 4971 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
4443mpt2mpt 5955 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  X
) `  z )
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  X ) v ) ) )
4539, 44syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  X ) `  z ) ) ) )
463, 45opeq12d 3820 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
47 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X Full  Y )
48 fullfunc 13796 . . . . . . . . 9  |-  ( X Full 
Y )  C_  ( X  Func  Y )
4947, 48sstri 3201 . . . . . . . 8  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X  Func  Y )
5049ssbri 4081 . . . . . . 7  |-  ( F ( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G  ->  F ( X  Func  Y ) G )
5133, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F ( X  Func  Y ) G )
52 catciso.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  Y
)
53 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  Y )  =  ( Id `  Y
)
54 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  X )  =  ( Id `  X
)
55 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (comp `  Y )  =  (comp `  Y )
56 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (comp `  X )  =  (comp `  X )
57 catciso.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  (CatCat `  U )
58 catciso.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  C
)
59 catciso.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6057, 58, 59catcbas 13945 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
61 inss2 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
6260, 61syl6eqss 3241 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  Cat )
63 catciso.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6462, 63sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Cat )
65 catciso.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6662, 65sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Cat )
67 f1ocnv 5501 . . . . . . . 8  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> R )
68 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : S -1-1-onto-> R  ->  `' F : S --> R )
691, 67, 683syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : S --> R )
70 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e. 
_V
7170cnvex 5225 . . . . . . . . 9  |-  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e.  _V
7217, 71fnmpt2i 6209 . . . . . . . 8  |-  H  Fn  ( S  X.  S
)
7372a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
7433adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
7569ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
7675adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  u )  e.  R
)
7769ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
7877adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  v )  e.  R
)
7930, 31, 32, 74, 76, 78ffthf1o 13809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
80 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
81 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  ->  `' (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
8483fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
8685fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  v ) )
8784, 86oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
8887cnveqd 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
89 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e. 
_V
9089cnvex 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e.  _V
9188, 17, 90ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
9291adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
931adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S )
94 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  u  e.  S )
95 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
9693, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
97 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
v  e.  S )
98 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
9993, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
10096, 99oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
101100eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u (  Hom  `  Y ) v )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
10292, 101feq12d 5397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( u H v ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  <->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) ) )
10382, 102mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
104 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  S )
105 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  u )
106105fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
107 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  y  =  u )
108107fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  u ) )
109106, 108oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
110109cnveqd 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
111 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e. 
_V
112111cnvex 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e.  _V
113110, 17, 112ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
114104, 104, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
115114fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) ) )
11651adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( X  Func  Y
) G )
11730, 54, 53, 116, 75funcid 13760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
1181, 95sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  Y
) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
120117, 119eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
12133adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
12230, 31, 32, 121, 75, 75ffthf1o 13809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
12366adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  X  e.  Cat )
12430, 31, 54, 123, 75catidcl 13600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )
125 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) )  /\  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
126122, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id `  Y
) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
127120, 126mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) )
128115, 127eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( ( Id
`  X ) `  ( `' F `  u ) ) )
129513ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( X 
Func  Y ) G )
130693ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' F : S
--> R )
131 simp21 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  u  e.  S
)
132130, 131ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  u )  e.  R
)
133 simp22 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  v  e.  S
)
134130, 133ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  v )  e.  R
)
135 simp23 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
136130, 135ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  R
)
137333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
13830, 31, 32, 137, 132, 134ffthf1o 13809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
13913ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S
)
140139, 131, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
141139, 133, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
142140, 141oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
143 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
145138, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) )
146 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
147 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
149 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
150148, 149ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
15130, 31, 32, 137, 134, 136ffthf1o 13809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
152 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
153139, 135, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
154141, 153oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v (  Hom  `  Y
) z ) )
155 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v (  Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) ) )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) ) )
157151, 156mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) )
158 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y
) z )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
159 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y
) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
160157, 158, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
161 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  g  e.  ( v (  Hom  `  Y
) z ) )
162160, 161ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g )  e.  ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) )
16330, 31, 56, 55, 129, 132, 134, 136, 150, 162funcco 13761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
164140, 141opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  <. ( F `  ( `' F `  u ) ) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.  =  <. u ,  v
>. )
165164, 153oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) )
166 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y
) z )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
167157, 161, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
168 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  f  e.  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
169145, 149, 168syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
170165, 167, 169oveq123d 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g ( <. u ,  v >. (comp `  Y ) z ) f ) )
171163, 170eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )
17230, 31, 32, 137, 132, 136ffthf1o 13809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
173140, 153oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) z ) )
174 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) ) )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) ) )
176172, 175mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) )
177663ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  X  e.  Cat )
17830, 31, 56, 177, 132, 134, 136, 150, 162catcocl 13603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
179 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) z )  /\  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
180176, 178, 179syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
181171, 180mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
182 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  x  =  u )
183182fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
184 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
185184fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
186183, 185oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
187186cnveqd 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
188 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
189188cnvex 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
190187, 17, 189ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
191131, 135, 190syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
192191fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) ) )
193 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  x  =  v )
194193fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  v ) )
195 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
196195fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
197194, 196oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
198197cnveqd 4873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
199 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
200199cnvex 5225 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
201198, 17, 200ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
202133, 135, 201syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
203202fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( v H z ) `  g )  =  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )
204131, 133, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
205204fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H v ) `  f )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )
206203, 205oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( v H z ) `
 g ) (
<. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
207181, 192, 2063eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( ( v H z ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) ) )
20852, 30, 32, 31, 53, 54, 55, 56, 64, 66, 69, 73, 103, 128, 207isfuncd 13755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F ( Y  Func  X ) H )
20930, 51, 208cofuval2 13777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  <. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >. )
210 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (idfunc `  X
)  =  (idfunc `  X
)
211210, 30, 66, 31idfuval 13766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  X )  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
21246, 209, 2113eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  (idfunc `  X ) )
213 eqid 2296 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
214 df-br 4040 . . . . . 6  |-  ( F ( X  Func  Y
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( X 
Func  Y ) )
21551, 214sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X  Func  Y
) )
216 df-br 4040 . . . . . 6  |-  ( `' F ( Y  Func  X ) H  <->  <. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X ) )
217208, 216sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X
) )
21857, 58, 59, 213, 65, 63, 65, 215, 217catcco 13949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. ) )
219 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
22057, 58, 219, 210, 59, 65catcid 13951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  =  (idfunc `  X
) )
221212, 218, 2203eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) )
222 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
223 eqid 2296 . . . 4  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
22457catccat 13952 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
22559, 224syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
22657, 58, 59, 222, 65, 63catchom 13947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X (  Hom  `  C ) Y )  =  ( X  Func  Y ) )
227215, 226eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
22857, 58, 59, 222, 63, 65catchom 13947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y (  Hom  `  C ) X )  =  ( Y  Func  X ) )
229217, 228eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y (  Hom  `  C ) X ) )
23058, 222, 213, 219, 223, 225, 65, 63, 227, 229issect2 13673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  <->  ( <. `' F ,  H >. (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) X )
<. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) ) )
231221, 230mpbird 223 . 2  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X (Sect `  C
) Y ) <. `' F ,  H >. )
232 f1ococnv2 5516 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
2331, 232syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
234913adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
235234coeq2d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) ) )
236333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
237753adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
238773adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
23930, 31, 32, 236, 237, 238ffthf1o 13809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
2401003impb 1147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  u )
) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
241240, 143syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
242239, 241mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) )
243 f1ococnv2 5516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
244242, 243syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) ) )
245235, 244eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
246245mpt2eq3dva 5928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) ) )
247 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( (  Hom  `  Y ) `  <. u ,  v
>. ) )
248 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( u (  Hom  `  Y
) v )  =  ( (  Hom  `  Y
) `  <. u ,  v >. )
249247, 248syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
250249reseq2d 4971 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
251250mpt2mpt 5955 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  X.  S )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  Y
) `  z )
) )  =  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) ) )
252246, 251syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( z  e.  ( S  X.  S ) 
|->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) )
253233, 252opeq12d 3820 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
25452, 208, 51cofuval2 13777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  <. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >. )
255 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (idfunc `  Y
)  =  (idfunc `  Y
)
256255, 52, 64, 32idfuval 13766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  Y )  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
257253, 254, 2563eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  (idfunc `  Y ) )
25857, 58, 59, 213, 63, 65, 63, 217, 215catcco 13949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  (
<. F ,  G >.  o.func  <. `' F ,  H >. ) )
25957, 58, 219, 255, 59, 63catcid 13951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  Y
)  =  (idfunc `  Y
) )
260257, 258, 2593eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id `  C
) `  Y )
)
26158, 222, 213, 219, 223, 225, 63, 65, 229, 227issect2 13673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C ) X )
<. F ,  G >.  <->  ( <. F ,  G >. (
<. Y ,  X >. (comp `  C ) Y )
<. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  Y ) ) )
262260, 261mpbird 223 . 2  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. )
263 catcisolem.i . . 3  |-  I  =  (Inv `  C )
26458, 263, 225, 65, 63, 223isinv 13678 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X I Y ) <. `' F ,  H >. 
<->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  /\ 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. ) ) )
265231, 262, 264mpbir2and 888 1  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583  Sectcsect 13663  Invcinv 13664    Func cfunc 13744  idfunccidfu 13745    o.func ccofu 13746   Full cful 13792   Faith cfth 13793  CatCatccatc 13942
This theorem is referenced by:  catciso  13955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-sect 13666  df-inv 13667  df-func 13748  df-idfu 13749  df-cofu 13750  df-full 13794  df-fth 13795  df-catc 13943
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