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Theorem catcisolem 13938
Description: Lemma for catciso 13939. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catciso.c  |-  C  =  (CatCat `  U )
catciso.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catciso.r  |-  R  =  ( Base `  X
)
catciso.s  |-  S  =  ( Base `  Y
)
catciso.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
catciso.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catciso.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catcisolem.i  |-  I  =  (Inv `  C )
catcisolem.g  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
catcisolem.1  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
catcisolem.2  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
catcisolem  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, F, y    x, G, y    ph, x, y   
x, I, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    U( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem catcisolem
Dummy variables  f 
g  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcisolem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : R -1-1-onto-> S )
2 f1ococnv1 5502 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R ) )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  R )
)
413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
-1-1-onto-> S )
5 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  F : R
--> S )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F : R
--> S )
7 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  u  e.  R )
86, 7ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  u )  e.  S
)
9 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  v  e.  R )
106, 9ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( F `  v )  e.  S
)
11 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  x  =  ( F `  u ) )
1211fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  x )  =  ( `' F `  ( F `
 u ) ) )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
y  =  ( F `
 v ) )
1413fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( `' F `  y )  =  ( `' F `  ( F `
 v ) ) )
1512, 14oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  -> 
( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
1615cnveqd 4857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( F `
 u )  /\  y  =  ( F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
17 catcisolem.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  S ,  y  e.  S  |->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) ) )
18 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  e. 
_V
1918cnvex 5209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  e.  _V
2016, 17, 19ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  S  /\  ( F `  v )  e.  S )  -> 
( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) ) )
218, 10, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) ) )
22 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
234, 7, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
24 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  R )  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
254, 9, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' F `  ( F `  v ) )  =  v )
2623, 25oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( `' F `  ( F `
 u ) ) G ( `' F `  ( F `  v
) ) )  =  ( u G v ) )
2726cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  `' (
( `' F `  ( F `  u ) ) G ( `' F `  ( F `
 v ) ) )  =  `' ( u G v ) )
2821, 27eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  =  `' ( u G v ) )
2928coeq1d 4845 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) ) )
30 catciso.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  X
)
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (  Hom  `  X )  =  (  Hom  `  X )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (  Hom  `  Y )  =  (  Hom  `  Y )
33 catcisolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
34333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
3530, 31, 32, 34, 7, 9ffthf1o 13793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( u G v ) : ( u (  Hom  `  X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u
) (  Hom  `  Y
) ( F `  v ) ) )
36 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u G v ) : ( u (  Hom  `  X )
v ) -1-1-onto-> ( ( F `  u ) (  Hom  `  Y ) ( F `
 v ) )  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( `' ( u G v )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3829, 37eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  R  /\  v  e.  R
)  ->  ( (
( F `  u
) H ( F `
 v ) )  o.  ( u G v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
3938mpt2eq3dva 5912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  X ) v ) ) ) )
40 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  X ) `  z
)  =  ( (  Hom  `  X ) `  <. u ,  v
>. ) )
41 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( u (  Hom  `  X
) v )  =  ( (  Hom  `  X
) `  <. u ,  v >. )
4240, 41syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  X ) `  z
)  =  ( u (  Hom  `  X
) v ) )
4342reseq2d 4955 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  X
) v ) ) )
4443mpt2mpt 5939 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  X
) `  z )
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  X ) v ) ) )
4539, 44syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  R  |->  ( ( ( F `
 u ) H ( F `  v
) )  o.  (
u G v ) ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  R )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  X ) `  z ) ) ) )
463, 45opeq12d 3804 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
47 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X Full  Y )
48 fullfunc 13780 . . . . . . . . 9  |-  ( X Full 
Y )  C_  ( X  Func  Y )
4947, 48sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) )  C_  ( X  Func  Y )
5049ssbri 4065 . . . . . . 7  |-  ( F ( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G  ->  F ( X  Func  Y ) G )
5133, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F ( X  Func  Y ) G )
52 catciso.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  Y
)
53 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  Y )  =  ( Id `  Y
)
54 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Id
`  X )  =  ( Id `  X
)
55 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (comp `  Y )  =  (comp `  Y )
56 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (comp `  X )  =  (comp `  X )
57 catciso.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  (CatCat `  U )
58 catciso.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  C
)
59 catciso.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6057, 58, 59catcbas 13929 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i  Cat ) )
61 inss2 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( U  i^i  Cat )  C_  Cat
6260, 61syl6eqss 3228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  Cat )
63 catciso.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6462, 63sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Cat )
65 catciso.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6662, 65sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Cat )
67 f1ocnv 5485 . . . . . . . 8  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> R )
68 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : S -1-1-onto-> R  ->  `' F : S --> R )
691, 67, 683syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : S --> R )
70 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e. 
_V
7170cnvex 5209 . . . . . . . . 9  |-  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  e.  _V
7217, 71fnmpt2i 6193 . . . . . . . 8  |-  H  Fn  ( S  X.  S
)
7372a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
7433adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F ( ( X Full 
Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
7569ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
7675adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  u )  e.  R
)
7769ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
7877adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( `' F `  v )  e.  R
)
7930, 31, 32, 74, 76, 78ffthf1o 13793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
80 f1ocnv 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
81 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  ->  `' (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
8685fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  v ) )
8784, 86oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
8887cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
89 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e. 
_V
9089cnvex 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  e.  _V
9188, 17, 90ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
9291adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
931adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S )
94 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  ->  u  e.  S )
95 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
9693, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
97 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
v  e.  S )
98 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  v  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
9993, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
10096, 99oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
101100eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u (  Hom  `  Y ) v )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
10292, 101feq12d 5381 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( ( u H v ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) )  <->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) ) )
10382, 102mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S ) )  -> 
( u H v ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
104 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  S )
105 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  u )
106105fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
107 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  y  =  u )
108107fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  u ) )
109106, 108oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
110109cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
111 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e. 
_V
112111cnvex 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) )  e.  _V
113110, 17, 112ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
114104, 104, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
u H u )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) )
115114fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) ) )
11651adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( X  Func  Y
) G )
11730, 54, 53, 116, 75funcid 13744 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
1181, 95sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
119118fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  Y
) `  ( F `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
120117, 119eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u ) )
12133adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  F
( ( X Full  Y
)  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
12230, 31, 32, 121, 75, 75ffthf1o 13793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) ) )
12366adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  X  e.  Cat )
12430, 31, 54, 123, 75catidcl 13584 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )
125 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  u ) ) )  /\  (
( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
)  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  u ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `
 ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id
`  Y ) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
126122, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  X ) `  ( `' F `  u ) ) )  =  ( ( Id `  Y
) `  u )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) ) )
127120, 126mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  u ) ) `  ( ( Id `  Y ) `  u
) )  =  ( ( Id `  X
) `  ( `' F `  u )
) )
128115, 127eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( u H u ) `  ( ( Id `  Y ) `
 u ) )  =  ( ( Id
`  X ) `  ( `' F `  u ) ) )
129513ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( X 
Func  Y ) G )
130693ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' F : S
--> R )
131 simp21 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  u  e.  S
)
132130, 131ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  u )  e.  R
)
133 simp22 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  v  e.  S
)
134130, 133ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  v )  e.  R
)
135 simp23 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
136130, 135ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  R
)
137333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F ( ( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
13830, 31, 32, 137, 132, 134ffthf1o 13793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
13913ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  F : R -1-1-onto-> S
)
140139, 131, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
141139, 133, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
142140, 141oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
143 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
145138, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) )
146 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
147 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y
) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( u (  Hom  `  Y ) v ) --> ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) )
149 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
150148, 149ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) )
15130, 31, 32, 137, 134, 136ffthf1o 13793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
152 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : R -1-1-onto-> S  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
153139, 135, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
154141, 153oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v (  Hom  `  Y
) z ) )
155 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( v (  Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) ) )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  v ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) ) )
157151, 156mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y ) z ) )
158 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y
) z )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
159 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y
) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
160157, 158, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( v (  Hom  `  Y ) z ) --> ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
161 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  g  e.  ( v (  Hom  `  Y
) z ) )
162160, 161ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g )  e.  ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) )
16330, 31, 56, 55, 129, 132, 134, 136, 150, 162funcco 13745 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
164140, 141opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  <. ( F `  ( `' F `  u ) ) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.  =  <. u ,  v
>. )
165164, 153oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) )
166 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  v ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( v (  Hom  `  Y
) z )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) )  -> 
( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
167157, 161, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )  =  g )
168 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  f  e.  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
169145, 149, 168syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  =  f )
170165, 167, 169oveq123d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ) ( <. ( F `  ( `' F `  u )
) ,  ( F `
 ( `' F `  v ) ) >.
(comp `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) ) ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g ( <. u ,  v >. (comp `  Y ) z ) f ) )
171163, 170eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )
17230, 31, 32, 137, 132, 136ffthf1o 13793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
173140, 153oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y )
( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) z ) )
174 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) z )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) ) )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  z ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) ) )
176172, 175mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) z ) )
177663ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  X  e.  Cat )
17830, 31, 56, 177, 132, 134, 136, 150, 162catcocl 13587 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )
179 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  z ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) z )  /\  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )  e.  ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  z ) ) )  ->  (
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
180176, 178, 179syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )  =  ( g (
<. u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) ) )
181171, 180mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
182 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  x  =  u )
183182fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  u ) )
184 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
185184fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
186183, 185oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
187186cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
188 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
189188cnvex 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
190187, 17, 189ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
191131, 135, 190syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H z )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) )
192191fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  z ) ) `  ( g ( <. u ,  v
>. (comp `  Y )
z ) f ) ) )
193 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  x  =  v )
194193fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  x )  =  ( `' F `  v ) )
195 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
196195fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( `' F `  y )  =  ( `' F `  z ) )
197194, 196oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
198197cnveqd 4857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  `' ( ( `' F `  x ) G ( `' F `  y ) )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
199 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e. 
_V
200199cnvex 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) )  e.  _V
201198, 17, 200ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
202133, 135, 201syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( v H z )  =  `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) )
203202fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( v H z ) `  g )  =  ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) )
204131, 133, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
205204fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H v ) `  f )  =  ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) )
206203, 205oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( ( v H z ) `
 g ) (
<. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) )  =  ( ( `' ( ( `' F `  v ) G ( `' F `  z ) ) `  g ) ( <.
( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) `  f ) ) )
207181, 192, 2063eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( u (  Hom  `  Y
) v )  /\  g  e.  ( v
(  Hom  `  Y ) z ) ) )  ->  ( ( u H z ) `  ( g ( <.
u ,  v >.
(comp `  Y )
z ) f ) )  =  ( ( ( v H z ) `  g ) ( <. ( `' F `  u ) ,  ( `' F `  v )
>. (comp `  X )
( `' F `  z ) ) ( ( u H v ) `  f ) ) )
20852, 30, 32, 31, 53, 54, 55, 56, 64, 66, 69, 73, 103, 128, 207isfuncd 13739 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F ( Y  Func  X ) H )
20930, 51, 208cofuval2 13761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  <. ( `' F  o.  F ) ,  ( u  e.  R , 
v  e.  R  |->  ( ( ( F `  u ) H ( F `  v ) )  o.  ( u G v ) ) ) >. )
210 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (idfunc `  X
)  =  (idfunc `  X
)
211210, 30, 66, 31idfuval 13750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  X )  =  <. (  _I  |`  R ) ,  ( z  e.  ( R  X.  R
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  X ) `
 z ) ) ) >. )
21246, 209, 2113eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. )  =  (idfunc `  X ) )
213 eqid 2283 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
214 df-br 4024 . . . . . 6  |-  ( F ( X  Func  Y
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( X 
Func  Y ) )
21551, 214sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X  Func  Y
) )
216 df-br 4024 . . . . . 6  |-  ( `' F ( Y  Func  X ) H  <->  <. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X ) )
217208, 216sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y  Func  X
) )
21857, 58, 59, 213, 65, 63, 65, 215, 217catcco 13933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( <. `' F ,  H >.  o.func 
<. F ,  G >. ) )
219 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
22057, 58, 219, 210, 59, 65catcid 13935 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  X
)  =  (idfunc `  X
) )
221212, 218, 2203eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) X ) <. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) )
222 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
223 eqid 2283 . . . 4  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
22457catccat 13936 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
22559, 224syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
22657, 58, 59, 222, 65, 63catchom 13931 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X (  Hom  `  C ) Y )  =  ( X  Func  Y ) )
227215, 226eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
22857, 58, 59, 222, 63, 65catchom 13931 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y (  Hom  `  C ) X )  =  ( Y  Func  X ) )
229217, 228eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >.  e.  ( Y (  Hom  `  C ) X ) )
23058, 222, 213, 219, 223, 225, 65, 63, 227, 229issect2 13657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  <->  ( <. `' F ,  H >. (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) X )
<. F ,  G >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  X ) ) )
231221, 230mpbird 223 . 2  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X (Sect `  C
) Y ) <. `' F ,  H >. )
232 f1ococnv2 5500 . . . . . . 7  |-  ( F : R -1-1-onto-> S  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
2331, 232syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  S )
)
234913adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u H v )  =  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )
235234coeq2d 4846 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) ) )
236333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  F (
( X Full  Y )  i^i  ( X Faith  Y ) ) G )
237753adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  u )  e.  R )
238773adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( `' F `  v )  e.  R )
23930, 31, 32, 236, 237, 238ffthf1o 13793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
2401003impb 1147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  u )
) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
241240, 143syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  ( `' F `  u ) ) (  Hom  `  Y
) ( F `  ( `' F `  v ) ) )  <->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) ) )
242239, 241mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X ) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y ) v ) )
243 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) : ( ( `' F `  u ) (  Hom  `  X
) ( `' F `  v ) ) -1-1-onto-> ( u (  Hom  `  Y
) v )  -> 
( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
244242, 243syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  `' ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) ) )  =  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) ) )
245235, 244eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( (
( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
246245mpt2eq3dva 5912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) ) )
247 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( (  Hom  `  Y ) `  <. u ,  v
>. ) )
248 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( u (  Hom  `  Y
) v )  =  ( (  Hom  `  Y
) `  <. u ,  v >. )
249247, 248syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( (  Hom  `  Y ) `  z
)  =  ( u (  Hom  `  Y
) v ) )
250249reseq2d 4955 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) )  =  (  _I  |`  (
u (  Hom  `  Y
) v ) ) )
251250mpt2mpt 5939 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  X.  S )  |->  (  _I  |`  ( (  Hom  `  Y
) `  z )
) )  =  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  (  _I  |`  ( u
(  Hom  `  Y ) v ) ) )
252246, 251syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S ,  v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) )  =  ( z  e.  ( S  X.  S ) 
|->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) )
253233, 252opeq12d 3804 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
25452, 208, 51cofuval2 13761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  <. ( F  o.  `' F ) ,  ( u  e.  S , 
v  e.  S  |->  ( ( ( `' F `  u ) G ( `' F `  v ) )  o.  ( u H v ) ) ) >. )
255 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (idfunc `  Y
)  =  (idfunc `  Y
)
256255, 52, 64, 32idfuval 13750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (idfunc `  Y )  =  <. (  _I  |`  S ) ,  ( z  e.  ( S  X.  S
)  |->  (  _I  |`  (
(  Hom  `  Y ) `
 z ) ) ) >. )
257253, 254, 2563eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  o.func 
<. `' F ,  H >. )  =  (idfunc `  Y ) )
25857, 58, 59, 213, 63, 65, 63, 217, 215catcco 13933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  (
<. F ,  G >.  o.func  <. `' F ,  H >. ) )
25957, 58, 219, 255, 59, 63catcid 13935 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  C ) `  Y
)  =  (idfunc `  Y
) )
260257, 258, 2593eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( <. Y ,  X >. (comp `  C ) Y ) <. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id `  C
) `  Y )
)
26158, 222, 213, 219, 223, 225, 63, 65, 229, 227issect2 13657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C ) X )
<. F ,  G >.  <->  ( <. F ,  G >. (
<. Y ,  X >. (comp `  C ) Y )
<. `' F ,  H >. )  =  ( ( Id
`  C ) `  Y ) ) )
262260, 261mpbird 223 . 2  |-  ( ph  -> 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. )
263 catcisolem.i . . 3  |-  I  =  (Inv `  C )
26458, 263, 225, 65, 63, 223isinv 13662 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. ( X I Y ) <. `' F ,  H >. 
<->  ( <. F ,  G >. ( X (Sect `  C ) Y )
<. `' F ,  H >.  /\ 
<. `' F ,  H >. ( Y (Sect `  C
) X ) <. F ,  G >. ) ) )
265231, 262, 264mpbir2and 888 1  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >. ( X I Y )
<. `' F ,  H >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567  Sectcsect 13647  Invcinv 13648    Func cfunc 13728  idfunccidfu 13729    o.func ccofu 13730   Full cful 13776   Faith cfth 13777  CatCatccatc 13926
This theorem is referenced by:  catciso  13939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-sect 13650  df-inv 13651  df-func 13732  df-idfu 13733  df-cofu 13734  df-full 13778  df-fth 13779  df-catc 13927
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